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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • 07/05/2025

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Personnes
Transcription
00:001 plus 2 plus 3 plus 4, etc. jusqu'à l'infini vaut moins un douzième.
00:04En tout cas, d'après Math 2 Centrale Psi 2025, je réponds à tes questions qui démontrent ce résultat.
00:09On va attaquer la partie des formules de Taylor généralisées avec la question Q31.
00:13Montrez qu'il existe une constante C positive, telle que pour toute n entier naturel, on est ceci.
00:19On rappelle les précisions qui sont données dans l'énoncé, je te laisse regarder tout ça.
00:22Soit donc x dans 0,1 et n entier naturel, je vais réexprimer Pn plus 1 de x comme ceci grâce au théorème fondamental de l'analyse.
00:32Puisque pour rappel, la différence des deux là vaut l'intégrale de la dérivée entre x et 0.
00:37Et donc je vais majorer ceci en valeur absolue pour pouvoir après prendre le sup.
00:41Et j'ai d'après l'inégalité triangulaire que ceci est inférieur ou égal à la valeur absolue de cette intégrale plus la valeur absolue de ceci.
00:48Et je réapplique l'inégalité triangulaire version intégrale en faisant passer la valeur absolue dans l'intégrale.
00:52Mais là je peux utiliser la relation de récurrence qui définit mes polynômes.
00:55Et donc ici je me retrouve avec un n plus 1 Pn de t en valeur absolue dt.
00:59Ce qui est majoré par la norme de Pn sur 0,1.
01:02Puisque la norme de Pn majeure la valeur absolue de Pn de t pour chaque valeur de t.
01:07Et donc on passe à l'intégrale, je sors le facteur n plus 1 et j'ai donc ceci qui est majoré par ceci.
01:12Puisque j'ai une constante que je sors.
01:15Et donc j'ai l'intégrale de dt entre 0 et x qui vaut x.
01:17Et x est majoré par 1.
01:18Donc je suis bien majoré par ceci et ça je n'ai pas touché pour l'instant.
01:22Or comme on l'a dit Pn plus 1 de x est égal à 7 intégrale plus Pn plus 1 de 0.
01:26Et on a d'après l'énoncé que Φ de Pn plus 1 est égal à 0.
01:30Donc si j'applique Φ à cette égalité là, j'aurais Φ de ça plus Φ de ça est égal à Φ de ça qui vaut 0.
01:36Et j'ai donc que Φ de ceci est égal à moins Φ par linéarité vu que c'est une forme linéaire de cette intégrale.
01:42Mais rappelez-vous que Φ d'une constante vaut la constante puisque c'est vrai pour 1 et par linéarité en sortant le facteur.
01:48C'est vrai aussi pour toute constante.
01:49Donc ceci c'est égal tout simplement à Pn plus 1 de 0.
01:52Donc j'ai Pn plus 1 de 0 qui est égal à moins Φ de cette intégrale.
01:55Et donc en valeur absolue c'est égal à ceci qui est égal à ceci.
01:58Je fais sauter le signe moins.
02:00Qui est égal à ceci encore d'après la relation de récurrence.
02:02que je peux majorer par la constante C fois la norme de la fonction continue.
02:07J'intègre une fonction continue donc je suis continue.
02:10D'après l'énoncé on admettra qu'une forme linéaire Φ est continue si on a une constante C qui vérifie cet encadrement
02:15pour toucher dans E l'espace vectoriel des fonctions continues de 0,1 munie de la norme sub ici.
02:21Mais dans la norme sub j'ai ceci en valeur absolue.
02:24Et ceci en valeur absolue c'est plus petit que l'intégrale de la valeur absolue.
02:27Donc c'est plus petit que le sub de l'intégrale de la valeur absolue du truc en faisant sortir le n plus 1 et le c.
02:33Pardon le c était déjà dehors.
02:35Mais la valeur absolue de Pn de t pour tout t est plus petite que cette norme là.
02:38Donc j'ai cette norme là fois cette norme là.
02:40Je le sors en facteur puisqu'il ne dépend plus de t.
02:43Et ce sub là qui est en x, attention ça dépend de x là, est égal à 1.
02:48Et donc je suis tout simplement majoré par ça.
02:50Et donc au final Pn plus 1 de x est majoré par cette somme que je factorise comme ça.
02:53Et vu que ceci ne dépend pas de x, j'ai bien que le sub le plus petit des majorants.
02:57Et majoré par ceci.
02:58Check.

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