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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • 28/05/2025

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Personnes
Transcription
00:00Et toi, si tu avais passé le bac sur cet exercice, est-ce que tu te serais fait doser ?
00:04On corrige ensemble le sujet 1 d'Amérique du Nord du baccalauréat de maths, exercice 4, partie C !
00:10Je te laisse bien lire l'énoncé et moi je lis la question 1 démontrée que la limite de la fonction f en plus l'infini est égale à 0.
00:16Et bien d'après le cours, c'est une application directe du théorème des croissances comparées de l'addition des limites.
00:21On distribue le exponentiel moins x et j'ai x carré exponentiel moins x croissance comparée de temps vers 0,
00:253x exponentiel moins x, x exponentiel moins x croissance comparée de temps vers 0, produit par 3, ça tend vers 0,
00:32exponentiel moins x tend vers 0, donc j'ai une somme de 0 par addition de limites, la limite de tout ça en plus l'infini, et bien 0.
00:39Check !
00:39On admet que la fonction est dérivable sur R, on note f prime sa dérivée, petit a, vérifiez que la dérivée vaut ceci.
00:45Donc on ne se fait pas avoir, formule de dérivation d'un produit, dérivé de ça fois ça, plus ça fois dérivé de ça.
00:50Ce qui me donne pour x dans R, ceci fois exponentiel moins x, plus ceci fois moins exponentiel moins x.
00:58Je distribue le moins et je factorise par exponentiel moins x, et je me retrouve avec moins x carré moins x plus 1, exponentiel moins x,
01:04puisque ici j'avais moins x carré moins 3x moins 2, et donc je rajoute 2x, 2x moins 3x moins x, et donc j'ai 3 moins 2, ce qui me fait 1.
01:13J'ai donc bien ceci.
01:14Check !
01:152b déterminer le signe de la fonction dérivé f prime sur R, puis en dédire les variations de la fonction f sur R.
01:19Le signe va être donné par le polynôme de degré 2 suivant, parce que x quantiel de moins x est strictement positif pour tout x dans R.
01:26Et donc je calcule le discriminant.
01:28Je trouve ceci comme racine, je te laisse vérifier les calculs.
01:31Celle-ci est la plus petite, celle-ci est la plus grande.
01:34Et j'obtiens le tableau suivant, puisque pour rappel, le signe d'un polynôme de degré 2, c'est le signe du coefficient dominant ici,
01:40moins 1, donc négatif, à l'extérieur des racines, donc dans cette zone et dans cette zone, donc moins, moins, et on a plus ici.
01:48Et j'en déduis donc les variations de f, qui sont ceci, des croissantes, croissantes entre x1 et x2, et des croissantes de x2 à plus l'infini.
01:55J'ai eu la grosse forme de calculer les images de x1 et x2.
01:58Et je complète bien mon tableau en mettant les limites.
02:00Donc en plus l'infini, la limite est 0, et la limite en moins l'infini est plus l'infini.
02:04Si on ne vous dit pas de ne pas mettre les limites, partez du principe qu'il faut les mettre dans le tableau.
02:07Question 3, expliquez pourquoi la fonction f est positive sur l'intervalle 0 plus l'infini.
02:11Et bien déjà, on note que 0 est compris entre x1 et x2, puisque x1 est négatif.
02:16x1, somme de négatif divisé par 2, c'est strictement négatif.
02:20Et racine de 5 est plus grand que 1, puisque 1 au carré vaut 1, et racine de 5 au carré vaut 5.
02:25Et 5 est plus grand que 1 par stricte croissance de la racine.
02:27Racine de 5 est plus grand que ça.
02:29Donc ça, c'est strictement positif.
02:30Et f de 0 vaut 2.
02:32Le 0 est là et on est croissant.
02:33Ça veut dire que toutes les images entre 0 et x2 sont plus grandes que 2.
02:37C'est ce qu'on a ici par stricte croissance de f.
02:40Et de même, par stricte décroissance de f sur x2 plus l'infini,
02:43on a que toutes les images sont en dessous de f de x2, mais au-dessus de 0.
02:47Donc f de x est super ou égal à 0.
02:49On pourrait même mettre strict.
02:51Puisqu'une fonction strictement décroissante est nécessairement au-dessus de sa limite en plus l'infini.
02:55D'où que f de x est super ou égal à 0 pour toute x dans 0 plus l'infini.
02:59Check !
03:00Une autre possibilité, c'était d'étudier le signe de cette expression.
03:03Car f de x est donné par ceci.
03:05Et comme l'exponentiel de moins x est strictement positif, quel que soit x dans R,
03:08le signe de f dépend du signe de ce polynôme.
03:11Et vous trouvez que les racines sont moins 1 et moins 2.
03:14Et donc on est du signe du coefficient dominant, ici 1, donc positif, après moins 1.
03:19En particulier sur 0 plus l'infini.
03:21Question 4.
03:22On a de c'est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
03:26On admet que la fonction grand f définie pour tout l'ombre réel x
03:29par grand f de x égale ceci est une primitive de la fonction petit f.
03:32Soit alpha un nombre réel positif.
03:34déterminer l'air A de alpha exprimé en unitaire du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses,
03:40la courbe cf et les droits d'équation x égale 0, x égale alpha.
03:44Étant donné que f est positif sur l'intervalle 0 plus l'infini,
03:47l'intégrale sur tout segment inclus là-dedans correspond bien à l'air qui est sous la courbe
03:54et délimité par les droits de verticale définies par ce segment.
03:57En particulier ici sur l'intervalle 0 alpha puisque alpha est positif,
04:02f est positif d'après la question 3 et donc cette quantité là c'est tout simplement
04:06cette intégrale là.
04:08Et donc l'énoncé est super gentil, il nous donne une primitive
04:10qu'on pourrait d'ailleurs trouver par double intégration par partie.
04:14Et en utilisant le théorème fondamental du calcul intégral ou de l'analyse,
04:17on met cette primitive qu'on évalue entre 0 et alpha,
04:20ce qui nous fait ceci en remplaçant les images,
04:22attention on ne se trompe pas, on a moins cette expression là en 0.
04:25Et donc le résultat final est ceci en unité d'air.
04:29Check !
04:30Vu d'ensemble de la partie C, voilà, n'hésite pas si jamais tu as des questions
04:33ou si tu veux que je corrige un autre exercice type Bac.
04:35Bisous !

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