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00:00On rigole, on rigole, mais dites-vous qu'il y en a qui espèrent avoir le brevet,
00:02qui ne sont pas au point sur l'énoncé du concours GIP Polytech.
00:06Tonton algébri, t'es à bien finir ta classe de 3ème avec le corrigé de l'exercice 1 du concours.
00:10On est sur de l'étude de fonctions et des dérivés, un classique au brevet.
00:13On a la fonction g qui est définie pour tout x strictement positif par cette expression,
00:17et on nous demande de compléter son tableau de variation en faisant apparaître ses limites en 0 et en plus l'infini.
00:23Eh bien tout d'abord, on note que g est dérivable sur 0 plus l'infini en tant que somme de fonctions dérivables.
00:27On a un polynôme plus un logarithme, et ça c'est bien défini et dérivable sur 0 plus l'infini ouvert.
00:33Et pour tout x dans r plus étoile, j'ai que la dérivée de g est donnée par cette expression 6x carré plus 1 sur x.
00:39Le signe est rapide puisque x est strictement positif, on est là-dedans, donc ça c'est strictement positif, ça aussi.
00:45Et donc la dérivée est strictement positive, et donc la fonction est strictement croissante.
00:49Pour les limites en 0 plus et en plus l'infini, on a respectivement moins l'infini et plus l'infini.
00:54Petite justification rapide pour comprendre, même si ce n'était pas demandé.
00:57Donc en 0 plus, on a ceci qui tend vers 0 et ceci vers moins 2.
01:00Et le logarithme qui tend vers moins l'infini, donc par addition des limites, tout ceci tend vers moins l'infini.
01:05Et en plus l'infini, j'ai ceci qui tend vers plus l'infini, plus l'infini moins 2.
01:09Et par addition des limites, j'ai que le tout tend vers plus l'infini.
01:12Check pour la question 1.
01:13Question 2 justifie que l'équation g de x égale 0 admet une solution unique, et on note alpha cette solution.
01:18On s'en venir, on va utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
01:22Alors g est continue sur 0 plus l'infini car elle est dérivable sur le même intervalle.
01:26De plus, g est strictement monotone, ici strictement croissante, sur 0 plus l'infini, d'après le tableau de variation qu'on a fait à la question précédente.
01:33Et enfin, la limite de g en 0 plus, c'est moins l'infini, et la limite de g en plus l'infini, c'est plus l'infini.
01:38Et on a bien que 0 appartient à cet intervalle.
01:41Donc d'après le théorème de la bijection, l'équation g de x égale 0 admet une unique solution dans 0 plus l'infini.
01:47Check.
01:473. Compléter le tableau de signes de la fonction g.
01:50Attention, ici on est sur le tableau de signes de g.
01:53Là on avait le tableau de variation de g, qu'on a déduit à partir du signe de g prime.
01:59Mais ici on veut le signe de g.
02:01Et donc le signe étant donné qu'elle est strictement croissante et qu'elle s'annule en alpha,
02:05d'après la question précédente avec alpha qui est unique.
02:07Et donc nécessairement la stricte croissance fait qu'avant alpha on est strictement négatif,
02:11et qu'après alpha on est strictement positif.
02:14Check.
02:14On considère maintenant la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par cette expression-là.
02:19Question 4.
02:20Pour tout x strictement positif, exprimer f prime de x en fonction de g de x,
02:23où g est la fonction de la première partie.
02:25Et on nous dit aussi de détailler le calcul.
02:26f est dérivable sur 0 plus l'infini,
02:28parce que c'est un quotient de fonction dérivable sur r plus étoile,
02:31avec le dénominateur qui ne s'annule pas sur r plus étoile.
02:34Et donc soit x strictement positif, f prime de x est égal,
02:36j'applique la formule u sur v, donc u prime v moins u v prime sur v carré.
02:42Et donc j'obtiens cette expression-là, j'arrange les calculs, j'obtiens ceci,
02:46puis finalement ceci, et je recodis au numérateur g de x.
02:49Je te remonte la fonction pour que tu puisses vérifier les calculs.
02:52C'est bon, satisfait ? Check.
02:53I5a et I5b, on veut les limites de f en 0 plus et plus l'infini respectivement, en justifiant.
02:59Donc la limite en 0 plus et plus l'infini,
03:01puisque le logarithme est envers moins l'infini avec le moins,
03:04j'ai par produit que ça fait plus l'infini,
03:060, 1 et par somme plus l'infini.
03:09Ceci vaut 0 par continuité de la fonction qui a x associé à x en 0.
03:13Et donc par quotient, j'ai que la limite de f en 0 plus est égale à plus l'infini.
03:17Je suis de la forme plus l'infini divisé par 0 plus,
03:20ce qui fait bien plus l'infini.
03:21Check.
03:21Pour la limite en plus l'infini, je factorise au numérateur par x³,
03:25et donc j'ai un x² après simplification avec le x du dénominateur,
03:29et donc j'ai cette expression-là dans la parenthèse.
03:31Cette expression en plus l'infini tend vers 0 par croissance comparée,
03:35et ça vers 0 et ceci vers 1,
03:37donc toute la parenthèse tend vers 1 quand x tend vers plus l'infini.
03:40Le x² tend bien vers plus l'infini,
03:42et donc par produit, j'ai que la limite de f en plus l'infini est plus l'infini.
03:46Check.
03:46Enfin, la question 6.
03:47Compléter le tableau de variation de f en faisant apparaître les réels α,
03:51f de α, et les limites obtenues, les valeurs de α et de fα ne sont pas demandées.
03:55Donc voici le tableau de variation de f.
03:57On a obtenu le signe de f' à partir du signe de g,
04:00parce que pour rappel, on a que f' est égal à g de x sur x².
04:04Oui, oui, c'était bien f' de x.
04:06Et donc j'en déduis que f est décroissante de 0 à α,
04:08puis croissante de α à plus l'infini.
04:10Avec un minimum en f de α, on peut noter que f de α est égal à moins α² moins 1 sur α,
04:15même si ce n'était pas demandé.
04:16Pourquoi ? Parce que α annule g,
04:19et donc j'ai 2α³ plus ln de α moins 2 est égal à 0,
04:23et donc ln de α va être égal à 2 moins 2α³.
04:27Et donc je remplace le ln de α ici dans l'expression de f.
04:30Donc j'ai bien moins 2 plus 2α³,
04:34et donc α³ plus 1,
04:36qui me fait 3α³ moins 1 sur α,
04:38qui me fait ceci après simplification, pardon, il y avait une erreur.
04:41Et check pour le tableau !
04:42Voilà, je te laisse tout regarder,
04:44et n'hésite pas à poser tes questions en commentaire.
04:45Si jamais quelque chose n'est pas clair, bisous !