00:00Cher Terminal Spémat qui passe des concours, ceci est ton rappel quotidien que oui, tu dois être capable de justifier la continuité d'une fonction.
00:07Je m'explique.
00:08En règle générale, on va très probablement pas te demander de justifier comme ça de but en blanc la continuité d'une fonction.
00:13Mais, mais, mais, mais, mais, pour certaines questions, il faut être capable donc de la justifier parce que cette question-là nécessite une hypothèse de continuité.
00:21Exemple, quand on te fait résoudre une équation juste après les études de variation d'une fonction,
00:25il faut utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires au théorème de la bijection.
00:30Et l'une des hypothèses de ce théorème, c'est la continuité de la fonction. Je t'explique après comment la justifier.
00:35Deuxième situation, on peut avoir besoin de justifier la continuité du fonction et le théorème du point fixe.
00:41On a une suite définie par une relation de récurrence.
00:43Vous avez prouvé qu'elle converge et juste après on vous demande de montrer qu'elle converge vers une certaine valeur.
00:49C'est donc la deuxième situation où il faut être prêt à justifier qu'une fonction est continue.
00:53Et enfin, dernière situation quand il s'agit de primitive ou d'intégrale.
00:57La question pourrait être formulée de façon plus ou moins inhabituelle, comme ici, déterminer la valeur du réel k de sorte que fk soit une primitive de f sur r.
01:04Mais quoi qu'il en soit, il faudra justifier l'existence d'une primitive.
01:07Et d'après le cours, vous savez que votre fonction f admet des primitives sur r parce que f est continue.
01:13Dans le cas d'une intégrale en terminale, ce sera très rare qu'on attende de vous de justifier l'existence de l'intégrale en utilisant la continuité de la fonction.
01:21Ah oui, et véritable dernier point que j'ai oublié dans le calcul de limites.
01:24Vous pouvez avoir besoin de la continuité, notamment quand vous voulez passer à la limite dans une fonction.
01:29Par exemple, ici vous faites un calcul de limites où vous affirmez que cette limite là, c'est l'image en deux de la fonction.
01:35Vous êtes en fait en train d'utiliser la continuité de cette fonction en deux.
01:39Maintenant, comment est-ce qu'on justifie la continuité ?
01:41On peut utiliser la plupart du temps ce théorème si la fonction est dérivable en une valeur ou sur un intervalle, alors elle y est continue.
01:47Au bac, la quasi-totalité du temps, l'énoncé vous dira que la fonction est dérivable.
01:52Et donc vous utilisez cette information pour dire que d'après le cours, vous savez que la fonction est continue.
01:56Et l'autre façon de le démontrer, c'est d'utiliser cet énoncé là.
01:59Toutes fonctions construites par somme, produit, caution ou composition à partir des fonctions de référence sont continues sur leur ensemble de définition.
02:06Et voici les fonctions de référence.
02:08Je me suis basé sur ce superbe cours de lycée adulte.
02:10Donc on retient bien, on a ces quatre points où on peut vous demander de justifier la continuité.
02:14Et on a deux méthodes pour le faire.
02:16Utiliser le fait que la fonction est dérivable si c'est su et dit d'après l'énoncé.
02:20Ou décrire comment est construite la fonction, dans le cas ici composée d'exponentiel et d'une fonction affine,
02:25qui est donc continue sur son ensemble de définition.
02:27Voilà, n'hésite pas si tu as des questions à les poser en commentaire.
