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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • 08/06/2025

Catégorie

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Personnes
Transcription
00:00Cher terminal spémat futur bachelier, ceci est ton rappel quotidien que si tu cherches l'intersection entre une droite et un plan,
00:05tu es dans l'une de ces trois situations.
00:08La droite est incluse dans le plan, la droite intersecte le plan en un point,
00:12ou la droite n'a pas d'intersection avec le plan.
00:15Je développe.
00:16En premier lieu, ce que tu vas essayer de faire, c'est de déterminer si un des vecteurs directeurs de la droite est contenu dans le plan.
00:22Si un vecteur directeur de la droite est contenu dans le plan, on est soit dans cette situation,
00:25soit dans cette situation, puisque tu vois ici que le vecteur directeur de la droite est parallèle au plan, entre guillemets.
00:33Et si ce n'est pas le cas, on est dans cette dernière situation.
00:35Maintenant, comment faire pour essayer de déterminer cette intersection ?
00:38On va simplement utiliser l'équation cartésienne de plan qu'on a à notre disposition
00:42et la représentation paramétrique de la droite qu'on a dans l'énoncé.
00:45Et ce que tu vas faire ensuite, c'est injecter x, y, z dans la partie gauche de l'équation.
00:51Et tu vas écrire que c'est égal à 0, puisqu'on est en train de dire,
00:54eh bien, si je prends quelqu'un qui est à la fois dans le plan et dans la droite,
00:58il doit vérifier les deux, donc son x, y, z doivent s'écrire comme ça,
01:01mais en plus, il doit vérifier que tout ceci est égal à 0.
01:05Ça va te donner une équation en t, et si cette équation a une solution,
01:09eh bien, le t qui correspond, donc, ça va être le point d'intersection entre le plan et ta droite.
01:15Mais s'il n'y a pas de solution, tu as démontré qu'il n'y a pas de point d'intersection entre le plan et ta droite.
01:20Et en résolvant, on trouve ici que t est égal à moins 1.
01:23Et je vérifie ici en remplaçant le paramètre par moins 1,
01:27ce qui me fait 1, 1, 0 comme coordonnée.
01:30Et je peux vérifier, je te laisse le faire en commentaire, que ça satisfait l'équation de plan.
01:34Donc si je remplace x, y, z par ces coordonnées-là, je calcule, j'obtiens bien 0.
01:40Maintenant, autre situation, on reprend la même équation de plan,
01:43mais avec un autre système paramétrique, donc ça, ça représente une autre droite.
01:46Et en remplaçant x, y, z dans l'équation cartésienne de plan, j'obtiens ceci.
01:51Et finalement, l'égalité 6 égale 0, qui est évidemment absurde.
01:54Donc il ne peut pas exister de solution satisfaisant ça.
01:57En particulier, il n'y a pas de point d'intersection entre ce plan et cette droite.
02:02Et enfin, dernière situation, la droite est incluse dans le plan.
02:05Donc on garde toujours la même équation cartésienne du plan.
02:08On a un autre système paramétrique d'une autre droite.
02:10Et en remplaçant dans le membre gauche, donc par les valeurs de x, y, z dans le système paramétrique, je trouve 0.
02:17Alors attention, ici, il va falloir le faire au brouillon.
02:19Vous n'écrivez pas que c'est égal à 0, mais vous remplacez juste dans le membre gauche.
02:23Et donc, en ayant cette expression-là et en montrant qu'elle est égale à 0,
02:28vous prouvez que cette droite est incluse dans le plan,
02:30puisque n'importe quel point de la droite vérifie l'équation de plan.
02:35Si vous faites l'égalité, vous allez avoir 0 égale 0,
02:37mais du coup, vous reprenez ça en l'écrivant proprement et en disant
02:40« Montrons que la droite appartient au plan, blablabla, je remplace, j'obtiens 0, ok ».
02:45Voilà, n'hésite pas, si jamais tu as des questions, à les poser en commentaire.
02:48Bisous !

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