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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • 03/06/2025

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Personnes
Transcription
00:00Il faut que tu connaisses le point commun entre ces quatre limites.
00:02Alors ces quatre formules, c'est ce qu'on appelle les croissances comparées,
00:04et en fait c'est juste des formules qui permettent de gérer des formes indéterminées.
00:10Comme le demande ce commentaire, on va démontrer les limites du théorème des croissances comparées.
00:15Ce n'est pas à proprement parler une priorité au bac de connaître cette démonstration,
00:18mais on va faire des manipulations de limites qui te serviront dans des questions que tu auras probablement pour le bac.
00:23Déjà note qu'il suffit d'obtenir cette limite là pour obtenir toutes les autres,
00:26puisqu'on peut voir ces limites là comme des conséquences de celles-ci.
00:30Donc dans un premier temps, je vais te faire la preuve que toutes ces limites là se déduisent de celles-ci,
00:34et ensuite je vais te montrer comment est-ce qu'on peut démontrer celles-ci.
00:37Petite précision, si tu aimes bien être dans l'illégalité,
00:39il y a une autre démonstration de ces limites qui utilise le théorème de l'hôpital.
00:43Par exemple ici on a une forme indéterminée, et donc d'après la règle de l'hôpital,
00:46il nous suffit de dériver en haut, de dériver en bas,
00:48et c'est tout simplement la limite de l'exponentiel en plus l'infini,
00:52et donc ceci fait bien plus l'infini.
00:53Et on peut l'appliquer en fait directement pour ces limites là.
00:56Mais on ne veut pas de ça chez nous, on va la faire à la régulière.
01:00On commence avec cette première limite là,
01:02et on rappelle avant de commencer que n est un réel strictement positif quelconque.
01:06Oui je sais, vous avez peut-être vu la propriété avec des entiers naturels,
01:08mais c'est valide pour des réels, et on va le prouver.
01:10Je vais donc réécrire mon expression exponentielle de x sur x puissance n,
01:14en tant que exponentielle de x sur n sur x, le tout puissance n.
01:18D'après les propriétés de l'exponentielle, j'ai que n fois ça,
01:22ça va me donner exponentielle de x, et donc je peux mettre tout ça à la puissance n,
01:25et donc je divise par x en mettant la puissance n du x aussi à l'extérieur.
01:29De même, la propriété, vous l'avez vu avec des entiers naturels,
01:32mais il découle de la définition de l'exponentielle,
01:34qu'elle est valide en fait quel que soit le produit que vous avez dans l'exponentielle.
01:37Et enfin cette expression, je la réécris de cette façon là.
01:40Donc si j'ai montré que cette limite vaut plus l'infini,
01:43je peux conclure également que cette limite là vaut plus l'infini.
01:45Pourquoi ? J'ai réécrit mon expression de cette façon,
01:49et là, par composition, j'ai que l'exponentielle de x sur n sur x sur n
01:53a pour limite en plus l'infini plus l'infini,
01:55puisque x sur n tend vers plus l'infini, n est positif, et x tend vers plus l'infini.
01:59Multiplié par quelque chose de strictement positif, je tend vers plus l'infini,
02:02et je fais la composition avec la fonction qui a x associé x puissance n,
02:06j'ai quelque chose qui à l'intérieur tend vers plus l'infini,
02:08donc truc qui tend vers plus l'infini puissance n tend bien vers plus l'infini.
02:13Check pour cette première limite.
02:14On attaque la deuxième limite en moins l'infini,
02:16et je vais réécrire cette expression comme étant x puissance n divisé par exponentielle moins x,
02:20d'après les propriétés de l'exponentielle,
02:22et je vais faire apparaître un moins x dans la puissance n en haut,
02:25et donc je vais multiplier par moins 1 puissance n,
02:27puisque 2 puissance n multiplient entre elles, je multiplie moins 1 et moins x,
02:30ça me fait bien x puissance n.
02:32Et j'inverse cette expression ici pour me retrouver avec ceci,
02:35et la limite en moins l'infini de ceci, c'est la limite en plus l'infini de ceci,
02:41d'après le théorème de composition,
02:43puisque quand x tend vers moins l'infini, moins x tend vers plus l'infini,
02:46par quotient, j'ai que 1 sur un truc qui tend vers l'infini tend vers 0,
02:50et cette constante-là est majorée, est minorée,
02:52donc d'après le théorème des gendarmes, je peux montrer facilement que ça divisé par ça tend bien vers 0.
02:57Check pour celui-ci également.
02:58Pour cette troisième expression, je vais transformer cette expression
03:01en prenant le changement de variable grand x est égal à ln de x,
03:03donc au numérateur j'ai bien grand x,
03:05au dénominateur le petit x puissance n devient exponentiel de ln de petit x,
03:11le tout puissance n,
03:12ce qui me fait un exponentiel de grand x puissance n,
03:14soit un exponentiel de nx,
03:16qui tend bien vers 0 en utilisant le théorème de composition,
03:19donc nx va être un petit t, donc j'ai bien t sur exponentiel petit t,
03:23x tend vers plus l'infini,
03:24donc grand x tend toujours vers plus l'infini,
03:26puisque c'est ln de petit x,
03:27et donc n strictement positif x tend aussi vers plus l'infini,
03:31donc ici on a bien pour limite 0,
03:33fois un truc strictement positif, ça tend bien vers 0.
03:36Et je te laisse faire la dernière en commentaire en utilisant le même principe,
03:39en posant grand x est égal à ln de petit x,
03:41et en te ramenant à une des limites qu'on a déjà utilisées juste avant.
03:44Ok, ok, on a toutes les limites des croissances comparées qui se déduisent de celles-ci.
03:49Question, comment on peut démontrer celles-ci en toute légalité avec le programme de terminale ?
03:54Et on va considérer cette fonction.
03:55L'idée de la stratégie pour montrer le théorème des croissances comparées dans le cas n est égal à 1,
03:59pour cette limite-là donc,
04:01ça va être de montrer que pour x positif,
04:03on a ceci supérieur ou égal à 0,
04:05et utiliser un théorème de comparaison de limites.
04:08Mais une stratégie pour démontrer des inégalités,
04:09c'est simplement d'étudier les fonctions et d'évaluer les extrémums.
04:13Donc la fonction est dérivable en tant que somme d'exponentiel et de polynôme,
04:16et j'obtiens que pour tout x dans R,
04:17la dérivée est donnée par cette expression exponentielle de x moins e sur 2 fois x.
04:21Je voudrais étudier le signe de cette bêtise,
04:23mais ce n'est pas évident puisque je me retrouve avec un exponentiel de x et un x,
04:26rien que pour résoudre l'équation,
04:28ceci est égal à 0, ça va être un petit peu relou.
04:30Eh bien, ce n'est pas grave.
04:31Étudier un signe, ça équivaut à montrer une inégalité,
04:34et on a dit, pour montrer des inégalités,
04:35on peut dériver des fonctions.
04:37Somme d'exponentiel et de polynôme, toi-même tu sais,
04:39et la dérivée seconde est donc donnée par ceci pour tout x dans R.
04:42Et on obtient donc que la valeur qui annule la dérivée,
04:45la seule et unique, c'est x est égal à ln de e sur 2.
04:47Quand je dis dérivée, c'est dérivée de la dérivée,
04:49donc la dérivée seconde de f.
04:50On en déduit le signe de la dérivée seconde,
04:53puisqu'elle est négative avant et positive après,
04:55de manière évidente,
04:56et donc les variations de la dérivée première,
04:58qui a donc un minimum en ln de e sur 2,
05:01ce minimum valant ceci,
05:03d'après ce joyeux calcul.
05:05Et on remarque que ceci, c'est strictement positif.
05:06Pourquoi e strictement positif,
05:082 strictement positif,
05:09ln de 4 strictement positif,
05:11parce que 4 est strictement supérieur à 1.
05:13Et donc f' a un minimum qui est strictement positif,
05:16ça signifie que f' de x est supérieur ou égal à ce minimum
05:19qui est strictement positif,
05:21et donc f' de x est strictement positif
05:23pour tout x dans R.
05:24J'en déduis donc le tableau de variation de la fonction f,
05:26puisqu'on vient de montrer que f' est strictement positif,
05:29et donc f est strictement croissante sur R.
05:32En particulier, par strict croissance,
05:33on a que pour tout x strictement positif,
05:35f de 0 est inférieur strict,
05:36mais on peut mettre inférieur ou égal à f de x.
05:38Sauf que pour rappel,
05:39f était donné par cette expression,
05:40et donc en 0, ici on a 0,
05:42et ici on a 1.
05:43J'ai donc bien montré que pour tout x strictement positif,
05:46f de x est strictement positif,
05:47puisque 1 est strictement positif,
05:49et que f de x est supérieur à 1.
05:50Et donc en fait bien ceci que j'ai démontré comme inégalité,
05:53qui équivaut à ceci,
05:55qui équivaut à ceci en divisant par x,
05:56ce qui est possible parce que x est strictement positif,
05:58et x est différent de 0.
06:00Mais, mais, mais, mais, mais, mais,
06:01là c'est bon, on peut conclure.
06:03Ce bonhomme-là, il tend vers plus l'infini en plus l'infini,
06:05puisque x tend vers plus l'infini,
06:07fois quelque chose de strictement positif,
06:08ça tend bien vers plus l'infini.
06:10Et donc, d'après le théorème de comparaison,
06:12j'ai bien que ceci tend vers plus l'infini en plus l'infini.
06:15Check !
06:16On a donc bien démontré toutes les limites du théorème de croissance comparée,
06:19puisqu'on a montré que les 4 étaient conséquences de celle-ci,
06:23et qu'on vient bien de démontrer que celle-ci est vraie.
06:26Voilà, j'espère que tout était clair pour toi.
06:27N'hésite pas à poser tes questions en commentaire.
06:29Bisous !

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