XENS Maths A PSI 2025Fonction, Dérivation et Convexité ☄️

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00:00On fait la correction de math A version psi 2025,

00:03et j'affiche l'énoncé pour que tu puisses voir un petit peu l'introduction.

00:06Et je passe à la question 1, soit f fonction continue sur R,

00:09telle que sa limite en moins l'infini et en plus l'infini vaut plus l'infini,

00:12a montrait que l'ensemble x dans R tel que f de x est inférieur à f de 0 est fermé et borné.

00:18Eh bien tout d'abord, on a que l'intervalle moins l'infini ouvert f de 0 fermé est enfermé dans R.

00:23Or l'ensemble qu'on considère, on va l'appeler A,

00:26qui est ici les x dans R tel que f de x est inférieur ou égal à f de 0,

00:29c'est l'image réciproque par f de l'intervalle moins l'infini f de 0.

00:33Mais f, on nous a dit que c'est une fonction continue.

00:35Or d'après le cours, une des caractérisations d'une fonction continue,

00:38en tout cas pour ce type de fermé au programme de psi,

00:41c'est que l'image réciproque d'un fermé est enfermé.

00:44Image réciproque par une application continue bien sûr.

00:46Donc A est fermé, check.

00:48Deuxième partie, on va aussi montrer que l'ensemble A est borné.

00:51On va supposer que A est non borné.

00:52Si A est non borné, alors on peut construire une suite xn

00:55qui tend vers plus ou moins l'infini,

00:57et tel que xn appartient à A pour tout n.

01:00C'est bien ça être non borné.

01:01Je peux trouver des valeurs qui, en valeur absolue, sont arbitrairement grandes.

01:05En particulier, j'en ai nécessairement une qui va tendre vers plus l'infini ou moins l'infini.

01:08Je ne vais pas distinguer, mais si on veut faire exactement,

01:10ça serait l'un ou l'autre.

01:12Oui, mais comme pour tout n, xn appartient à A,

01:14on a que pour tout n, f de xn est inférieur ou égal à f de 0,

01:16par définition de A.

01:17Et on a par passage à la limite que la limite de ceci,

01:21quand n tend vers plus l'infini,

01:22va être inférieure ou égale à la limite de ceci.

01:25Ce qui impliquerait que cette limite-là serait finie.

01:27Ce qui, bien sûr, est absurde.

01:29On précise que peu importe qu'on tend vers plus ou moins l'infini dans la fonction,

01:32la limite de la fonction est plus l'infini.

01:34D'après l'énoncé, et ainsi on a notre absurdité.

01:37Check.

01:38Question 1b en déduire qu'il existe x étoile appartenant à R,

01:41tel que f de x étoile est égal au minimum de f de x sur R.

01:44On a que la limite de f de x quand x tend vers plus l'infini, c'est plus l'infini.

01:47Et aussi que la limite de f de x quand x tend vers moins l'infini, c'est plus l'infini.

01:51Cela signifie qu'il existe un moment à partir duquel on est garanti de dépasser la valeur de f de 0.

01:56Autrement dit, il existe un A strictement positif,

01:59tel que pour tout x dans R,

02:00si x est strictement supérieur à A,

02:02alors on a f de x strictement supérieur à f de 0.

02:05Et de même, il existe un A' strictement positif,

02:07tel que pour tout x dans R,

02:08si x est inférieur à moins A',

02:10attention j'ai pris mon A' strictement positif,

02:13alors j'ai f de x plus grand que f de 0.

02:15N'oublions pas qu'on tend vers plus l'infini en moins l'infini.

02:18Je vais poser A' comme étant le maximum entre A et A',

02:22et donc j'ai que pour tout x dans R privé de cet intervalle,

02:25moins A' seconde A',

02:26on a que f de x est strictement plus grand que f de 0.

02:29Donc si jamais il existe un minimum,

02:31on ne l'a pas encore montré,

02:32mais si jamais il en existe un,

02:33il ne peut pas être dans cet ensemble-là.

02:35Or, moins A' seconde A'

02:37c'est un ensemble compact qui est fermé-borné,

02:39c'est un intervalle fermé-borné.

02:40Pour rappel, f est continu.

02:42Donc dessus, f est borné et atteint ses bornes,

02:44en particulier, elle atteint son minimum.

02:46Après le théorème des bornes atteintes,

02:47et donc j'ai un x étoile qui vérifie ceci,

02:50et on va montrer qu'en fait,

02:51x étoile c'est un minimum global.

02:53Déjà, on a nécessairement que f de x étoile

02:54est inférieur ou égal à f de 0,

02:56puisque 0 est dedans,

02:58et que x étoile réalise le minimum de f

03:00sur cet intervalle fermé-borné.

03:02Donc nécessairement, cela implique que x étoile

03:03appartient à notre ensemble A du début.

03:05Pour rappel, ce sont les x dans R,

03:06tels que f de x est inférieur ou égal à f de 0.

03:08Or, pour toute x n'appartenant pas à A,

03:10on a que f de x est strictement plus grand que f de 0,

03:12par définition de A,

03:14mais f de 0, c'est supérieur ou égal à f de x étoile.

03:16Donc ça veut bien dire que f de x étoile

03:18est un minimum global,

03:19puisque f de x étoile est inférieur

03:21à n'importe quelle image pour x dans cet intervalle,

03:24mais en plus pour n'importe quelle valeur de x

03:26qui n'appartient pas à A.

03:27On a donc bien montré que pour toute x dans R,

03:29f de x est supérieur ou égal à f de x étoile,

03:31d'où f de x étoile est égal au minimum de f de x pour x dans R.

03:34Check !

03:34Moi, tu me pardonneras, j'ai un peu weeping, Léa.

03:38C1 sur R est convexe,

03:40et que f' est L Lipschitzienne,

03:42pour un certain L, strictement positif.

03:45Montré que pour tout x, y dans R,

03:46la valeur absolue de f' de x moins f' de y au carré

03:50est inférieur ou égal à L fois x moins y

03:52fois f' de x moins f' de y.

03:55Sur x et y dans R,

03:56on a que f' est grand L Lipschitzienne,

03:58donc la valeur absolue de f' de x moins f' de y

04:01est inférieur ou égal à L fois la valeur absolue de x moins y.

04:04Donc je vais multiplier cette inégalité par ceci,

04:06qui me donne finalement cette inégalité

04:08qui n'est pas tout à fait ce que je veux.

04:10Mais je peux noter ici que x moins y

04:11multiplié par f' de x moins f de y est positif.

04:15Pourquoi ?

04:15Parce que fc1 est convexe.

04:17Ça signifie que sa dérivée f' est croissante.

04:19Donc f' de x et f' de y est dans le même ordre que x et y.

04:22Si x est plus grand,

04:23x moins y est positif,

04:24et donc f' de x est plus grand que f' de y.

04:27Et si c'est y qui est plus grand,

04:28et bien dans ce cas, c'est f' de y qui est plus grand,

04:30et donc on a négatif fois négatif,

04:31et donc le produit est bien positif.

04:33Il nous donne bien l'inégalité voulue.

04:34Check !

04:35Question 2b, soit x, y dans R,

04:37et soit x tilde qui est égal à x moins taux f' de x,

04:40et y tilde qui est égal à y moins taux f' de y.

04:43Je rappelle que taux est une constance strictement positive.

04:45Montrez l'inégalité affichée.

04:47Et bien je pars de la valeur absolue de x tilde moins y tilde au carré,

04:50et en remplaçant dans l'expression,

04:51j'ai bien x moins y moins taux facteur de f' de x moins f' de y

04:57entre valeur absolue au carré.

04:59Vu que je mets tout ça au carré,

05:00la valeur absolue n'est pas nécessaire,

05:01donc c'est juste l'expression au carré.

05:03Et donc je rassemble d'un côté le x moins y moins tout ça qui va être au carré.

05:08J'utilise l'identité remarquable.

05:10Je donne x moins y au carré moins 2 fois x moins y fois ceci,

05:14donc taux f' de x moins f' de y,

05:17plus le dernier terme au carré.

05:19Ce qui, quand je le réécris, me donne la valeur absolue de x moins y au carré,

05:22moins 2 fois taux fois x moins y fois f' de x moins f' de y,

05:26plus taux carré fois la valeur absolue de f' de x moins f' de y au carré.

05:29Ce n'était pas obligé, mais j'ai mis les valeurs absolues pour lier plus facilement à ce qu'on a fait avec la question précédente.

05:34Et justement, d'après la question précédente,

05:36la valeur absolue de f' de x moins f' de y au carré est majorée par ceci, juste là.

05:40Ce qui me donne que l'expression du début est inférieure ou égale à x moins y en valeur absolue au carré,

05:46moins 2 taux x moins y f' de x moins f' de y,

05:49plus taux carré fois l fois x moins y fois f' de x moins f' de y,

05:54d'après la question de a.

05:55Ce qui me donne bien cette expression après avoir factorisé par moins taux,

05:59facteur de x moins y, f' de x moins f' de y.

06:02Check !

06:03Question de dossier, on suppose de plus que f admet un minimiseur x étoile

06:06et que 0 est inférieur strict à taux qui est inférieur ou égal à 2 sur L.

06:10Montrez que la suite de valeur absolue de xn moins x étoile est décroissante.

06:14On rappelle que xn satisfait 2.

06:16C'est-à-dire que pour tout n entier naturel,

06:18on a xn plus 1 est égal à xn moins taux f' de xn.

06:23On a donc utilisé l'inégalité précédente en remplaçant x par xn et y par x étoile.

06:28Dis-nous donc toute cette inégalité.

06:29Valeur absolue de xn tilde moins x étoile tilde au carré

06:32est inférieur ou égal à valeur absolue de xn moins x étoile au carré

06:36moins taux fois 2 moins taux L xn moins x étoile fois f' de xn moins f' de x étoile.

06:43On rappelle que x étoile est un minimiseur de f,

06:45ça veut dire une valeur en laquelle on a un minimum global.

06:48Mais vu que f est c1, d'après le cours,

06:50f' de x étoile est nécessairement égal à 0

06:53vu qu'en x prime étoile, on a un minimum.

06:56Ce qui implique que x étoile est un point fixe de l'opération tilde.

06:59Donc tilde de x étoile est égal à x étoile.

07:01Donc en réécrivant tout bien, j'obtiens cette inégalité-là.

07:04Puisque pour rappel, le xn tilde-là, c'est bien xn plus 1.

07:08Et en faisant passer le valeur absolue de xn moins x étoile au carré de l'autre côté,

07:12j'obtiens cette nouvelle inégalité.

07:13Maintenant, regardons de plus près.

07:15J'ai que ceci est négatif. Pourquoi ?

07:17J'ai taux qui est strictement positif avec un signe moins ici.

07:20Et j'ai que cette expression-là est positive.

07:22Parce qu'on a supposé que taux est strictement positif,

07:24est inférieur ou égal à 2 sur l.

07:26Donc taux fois l est inférieur ou égal à 2.

07:28Donc 2 moins taux sur l est positif.

07:30Et de plus, par le même argument de convexité,

07:33j'ai que ceci est du même signe que ceci.

07:35Carre f' est croissante.

07:37En particulier, tout ça est donc positif.

07:39Et donc tout le membre de droite est bien négatif.

07:42Et donc tout ce qui est à gauche est inférieur à un truc qui lui-même est négatif.

07:45Donc ce qui est à gauche est négatif.

07:46Or, si je factorise ce qui est à gauche en reconnaissant l'identité remarquable

07:49truc au carré moins autre truc au carré,

07:52on obtient que ce produit-là est négatif.

07:54Sauf que ceci, c'est une somme de valeurs absolues.

07:56Donc c'est positif.

07:57Donc nécessairement, par la règle des signes, c'est que ceci est négatif.

08:00Qui équivaut bien à dire que la valeur absolue de xn plus 1 moins x étoile

08:03est inférieure ou égale à la valeur absolue de xn moins x étoile.

08:06Autrement dit, que cette suite est décroissante.

08:08Et check pour ça ce qui conclut le préliminaire.

08:11Je te laisse regarder mes notes dans la globalité.

08:13Et surtout, n'hésite pas, si tu as une question, à la poser en commentaire.

08:16Bisous.

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