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AlgèBrille Pour Exceller en Maths 🔥
  • 30/04/2025

Catégorie

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Personnes
Transcription
00:00On rigole, on rigole, mais dites-vous qu'il y en a qui ont passé le concours GP Polytech
00:02et qui espèrent avoir une bonne note alors qu'ils n'étaient pas au point sur les basiques.
00:05Les basiques comme le premier groupe de homologie d'un idéal maximal d'une algèbre de Banna
00:09sur les formes différentielles avec les fonctions holomorphes de plusieurs variables.
00:13Les potos, soyez un peu sérieux quand même.
00:15Allez, on fait tout de suite une application de ces notions
00:16avec les parties 5 et 6 de la troisième partie du concours GP Polytech.
00:20Exercice 5, donc si UN est une suite qui vérifie 7 encadrements pour tout antinaturel N non nul,
00:25alors question A, pour tout antinaturel non nul N, on a 7 encadrements-là.
00:28La réponse, alors si on réexprime ça, j'ai fait une vidéo où j'explique
00:32pourquoi dire que la valeur absolue d'un truc est plus petite qu'un truc positif,
00:34c'est dire que le truc sans valeur absolue est compris entre le truc et moins le truc.
00:38Et donc ça, si on rajoute un des deux côtés, ça nous donne 7 encadrements-là.
00:42Mais nous, on voudrait 7 encadrements-là.
00:44Alors il est vrai que cette borne est bien plus petite que celle-ci, et donc plus petite que UN.
00:48Mais ici, ça coince, UN est plus petit que ceci.
00:50Et nous, on voudrait UN plus petit que ceci, et le moins 1 est plus serré par rapport à la borne de UN.
00:55En fait, en choisissant bien UN, on voit que ça ne va pas marquer.
00:57Si je prends UN constamment égal à 1, j'ai bien que 1 moins 1 qui vaut 0 en valeur absolue est inférieure à 1 sur n.
01:02Et 1 n'est pas inférieur ou égal à moins 1 plus 1 sur n, parce que je rajouterais 1 de l'autre côté,
01:05ça me ferait 2 inférieur ou égal à 1 sur n pour tout n, ce qui n'est pas vrai évidemment.
01:09Dead !
01:10Question 5b, est-ce que UN est majoré par 2 ?
01:125b, UN est majoré par 1 plus 1 sur n d'après ce qu'on a dit avant,
01:15et 1 sur n est majoré par 1, puisqu'on est toujours inférieur ou égal à 1.
01:19Donc tout ça, c'est bien majoré par 2, et donc UN est majoré par 2.
01:22Check !
01:23Question 5c, est-ce que UN est minoré par 0 ?
01:25Même pas, UN est minoré par cette quantité-là, qui elle-même est bien minorée par 0,
01:29parce que 1 sur n est plus petit que 1, donc 1 moins ça est bien positif.
01:33Check !
01:345d, est-ce que UN converge vers 0 ?
01:36Réponse 5d, on se rappelle qu'on a que la valeur absolue de UN moins 1 est inférieure ou égale à 1 sur n,
01:40ceci est positif, donc d'après le théorème des gendarmes, ceci converge vers 0,
01:44puisque 1 sur n converge vers 0, 0 converge vers 0, donc ceci aussi.
01:47Et ça, c'est dire que UN moins 1 tend vers 0, puisqu'un truc tend vers 0,
01:51si et seulement si sa valeur absolue tend vers 0, et c'est dire que UN converge vers 1.
01:54C'est dead !
01:55Exercice 5, on dispose des grinderies sur les 64 cases d'un échiquier,
01:58sur la première case, on double la quantité, etc., etc., d'une case à l'autre.
02:026a, le nombre de grinderies placées sur la dernière case est 2 puissance 63.
02:06Réponse, on fait un petit schéma récapitulatif,
02:08donc sur la première case je mets un grinderie, sur la deuxième j'en mets 2,
02:11sur la troisième j'en mets 4, etc.,
02:12et je transforme ça en puissance de 2, donc 2 puissance 0, 2 puissance 1, etc.,
02:16et je vois que l'exposant ici a 1 de moins que le numéro de la case.
02:20Donc à 64, j'arriverai bien à 2 exposants 63.
02:23Et de manière générale, à la nième case, je serai à 2 exposants n-1.
02:26C'est vrai ? Check !
02:27Et enfin 6b, le nombre total de grinderies placées sur l'échiquier est 2 puissance 64 moins 1.
02:32Réponse, on fait la somme de toutes les grinderies de chaque case,
02:35et donc on a bien 1 plus 2 plus le double,
02:37jusqu'à 2 puissance 63.
02:39On reconnaît la somme d'une suite géométrique de raison 2,
02:42qui va de 0 jusqu'à 63,
02:43qui vaut 1 moins la raison puissance le nombre de termes,
02:46donc de 0 à 63, on a 64 termes,
02:48donc 1 moins 2 puissance 64,
02:50sur 1 moins la raison 1 moins 2,
02:51qui vaut moins 1, donc je multiplie le haut par moins 1,
02:53ce qui me fait bien ceci.
02:53Check !
02:54N'hésite pas à balancer ton score en commentaire,
02:56et demande pour la suite.
02:57Bisous !

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