Integration par parties avec un exemple de double ipp et la méthode LPET.#ipp #integral #exponential

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00:00Elle est 2007, vous n'êtes pas les bacheliers que vous pensez être si vous ne savez pas faire minimum deux intégrations par partie.

00:05Oui, oui, tu m'as bien entendu, j'ai dit deux.

00:07Reste bien jusqu'au bout pour savoir pourquoi certaines intégrales nécessitent deux IPP.

00:11Tonton Algebraie traite ça avec la méthode Elpeth.

00:13La méthode Elpeth, pour rappel, c'est pour savoir comment bien faire une intégration par partie

00:17et surtout choisir qui va jouer le rôle de V, la fonction que l'on va dériver, qui passe en V' dans la deuxième intégrale.

00:24Donc pour rappel, l'IPP c'est cette formule qui permet de transformer l'intégrale d'un produit en deux morceaux,

00:29un morceau qui est un crochet qui suffit simplement d'évaluer en les bornes à B,

00:33comme dans un calcul de primitive après une intégration classique,

00:36moins une intégrale qui, elle, va nous donner une expression qui, normalement,

00:40on l'espère du moins, sera facilement commutivable ici.

00:43L'idée, c'est de bien sélectionner U' et V pour être sûr que ce truc-là, on sait le gérer.

00:49Et donc la méthode Elpeth, qu'est-ce qu'elle veut dire ?

00:51Vous avez L pour logarithme, P pour polynôme, E pour exponentiel,

00:56et T pour trigonométrique, sinus, cosinus, etc.

00:58Comme dit avant, ça vous dit quel va être le V.

01:01Donc ici, c'est présenté dans l'ordre de priorité.

01:03Si vous avez un logarithme, c'est d'abord lui qui doit jouer le rôle de V,

01:06après un polynôme, après une exponentielle, après une fonction trigonométrique.

01:09Ce n'est pas une liste ultra exhaustive,

01:11mais ça marche dans tous les cas que vous rencontrerez en terminale.

01:14Il faut impérativement que vous soyez sous la forme d'une multiplication, comme ici.

01:18On applique donc, et on regarde, L, est-ce que j'ai un logarithme ?

01:21Ben non, j'ai pas de logarithme.

01:22Est-ce que j'ai un polynôme ? Non, j'ai pas de polynôme.

01:24Est-ce que j'ai une exponentielle ? Oui, j'ai une exponentielle.

01:27Donc c'est lui qui va jouer le rôle de V.

01:30Par conséquent, nécessairement, le sinus de X va jouer le rôle de U'.

01:32Ensuite, ce que j'aime bien faire, et que je conseille à mes élèves de faire sur leur brouillon,

01:36c'est d'écrire dans cet ordre-là, U'V, première horizontale,

01:40parce que vous avez le produit dans l'intégrale,

01:42et ensuite, en dessous, U, et ici, V'.

01:45Attention, ne vous embrouillez pas.

01:47Et vous remplissez avec les fonctions,

01:48de manière à ce que votre première ligne horizontale corresponde au produit

01:51qui apparaît dans votre intégrale.

01:53Une fois que vous avez fait ça sur votre brouillon,

01:55vous pouvez le faire sur la copie au propre si vous voulez.

01:56Vous justifiez bien proprement.

01:58Il faut que U et V soient des fonctions non seulement dérivables,

02:02mais dont les dérivés U' et V' soient continus.

02:06C'est important dans l'énoncé, il faut bien le justifier.

02:09Donc dites-le avant de faire l'IPP.

02:11Et après, vous n'avez plus qu'à remplacer dans la formule.

02:13Vous remplacez sans réfléchir U' par ceci,

02:16V par exponentielle de X,

02:18U, V, etc., et U, V'.

02:21Et donc, j'obtiens bien cette expression.

02:22J'ai bien le crochet U fois V à l'intérieur,

02:25moins l'intégrale de U fois V'.

02:28Mais comme j'avais un moins ici pour rappel,

02:31je sors par l'inérité de l'intégrale le moins,

02:33ce qui devient un plus, puisqu'ici j'avais un moins.

02:35Et donc, j'ai bien ceci.

02:36Ce qui nous fait ceci, ce qui nous fait finalement un plus l'intégrale,

02:39puisque cos de π sur 2 fait 0,

02:41et cos de 0 vaut 1.

02:42Et je simplifie.

02:43Attention, à un mois du bac,

02:45je vois encore beaucoup de terminales qui ne sont pas au point

02:47sur les valeurs du cercle trigonométrique.

02:49S'il vous plaît, ne soyez pas des cassos.

02:51Le souci, c'est que là, on se retrouve avec une intégrale du style

02:53qu'on ne peut pas primitiver directement,

02:54parce qu'on a un produit.

02:56Mais qu'est-ce qu'on fait avec une intégrale où on a un produit ?

02:58On tente une IPP.

02:59Et donc, oui, tu as compris,

03:00c'est sur cette intégrale-là qu'on va faire la deuxième IPP,

03:03avec toujours la même méthode L-PET.

03:05Donc, est-ce que j'ai un logarithme ?

03:06Non.

03:07Est-ce que j'ai un polynôme ?

03:08Non.

03:08Est-ce que j'ai une exponentielle ?

03:09Oui.

03:10Donc ça, ça va jouer mon rôle de V, encore une fois.

03:12Et ça, ça va être U'.

03:13Je vais aller un petit peu plus vite dans la rédaction.

03:15Il me donne ceci par IPP,

03:16puisque les fonctions qui a x associé sinus de x et exponentielle de x

03:19sont continues,

03:20et leurs dérivés x associé exponentielle de x

03:23et x associé cosinus de x

03:25sont bien continues sur 0 pi sur 2.

03:27Attention, quand on primitive cos x,

03:29on obtient sinus x.

03:31Et finalement, après ceci, j'obtiens ça.

03:32Sinus de 0 vaut 0, sinus de pi sur 2 vaut 1.

03:35Et donc, j'ai bien cette expression.

03:37Et donc, que va-t-on faire ?

03:38Une troisième IPP,

03:39Bon, les potos, il suffit de rester concentrés.

03:41Qu'est-ce qu'on calculait à la base ?

03:42C'était ni plus ni moins que cette intégrale

03:44qui réapparaît comme étant égale à un truc

03:47moins la même chose.

03:49Mais en fait, ça, c'est une équation toute mignonne pour les bébés.

03:52Vous savez comment faire pour trouver la valeur de A.

03:54Vous ne laissez pas intimider

03:55parce que vous avez des intégrales dégueues comme ça.

03:57Vous faites simplement passer le A qui est ici

03:59de l'autre côté de l'égalité

04:00en rajoutant A à l'égalité.

04:02Vous avez que 2A est égal à ce truc.

04:04Autrement dit, que 2 fois l'intégrale est égale à ce truc.

04:07Et donc, l'intégrale est égale à ce truc

04:08divisé par 2.

04:10Ainsi, l'intégrale de 0 à pi sur 2

04:11de exponentielle de x sin de x dx

04:13est égale à 1 plus exponentielle de pi sur 2 sur 2.

04:15Notez d'ailleurs que si vous conservez

04:17les primitifs dans les crochets sans les calculer,

04:19vous pouvez trouver une primitive de sin x exponentielle de x

04:22qui va être donnée par l'addition

04:23des deux trucs en bleu sur 2.

04:26Pourquoi ? Parce que vous avez l'intégrale

04:27qui est égale à ce crochet

04:28qui valait 1, mais on ne l'évalue pas,

04:30on le laisse en crochet,

04:31plus 7 autres crochets moins la même intégrale

04:33et donc je fais passer l'intégrale de l'autre côté.

04:35J'ai donc que l'intégrale est égale

04:371,5 fois la somme des deux crochets,

04:39ce qui me donne cette égalité-là

04:41où le symbole de gauche, l'intégrale sans borne,

04:43signifie simplement que je prends

04:44une primitive de la fonction

04:46qui est dans l'intégrale,

04:47et donc une primitive de ceci

04:49est donnée par cette expression-là.

04:51Essayez de la dériver,

04:51vous allez bien voir que vous retomberez sur ça.

04:53Voilà, j'espère que ça a été clair,

04:55n'hésite pas à poser tes questions en commentaire.

04:56Bisous !

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