00:00Um Brüche addieren zu können, müssen zuerst die Nenner gleich gemacht werden.
00:05In diesem Video schauen wir uns an einem Beispiel an, wie man dabei vorgeht.
00:13Beginnen wir mit ein paar theoretischen Grundlagen.
00:17Wenn wir zwei Brüche addieren wollen, die den gleichen Nenner haben, in diesem Beispiel C,
00:22können wir einfach die Zähler addieren, hier A plus B, und durch den gemeinsamen Nenner dividieren.
00:30Das gleiche gilt bei der Subtraktion.
00:33Dabei wird der erste Zähler minus der zweite Zähler gerechnet.
00:38Sobald wir aber zwei unterschiedliche Nenner haben, in diesem Beispiel C und D,
00:43müssen diese zuerst angeglichen werden.
00:47Dabei erweitern wir beide Brüche so, dass in den Nennern das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner steht.
00:54In dem Fall ist das C mal D.
00:56Den ersten Bruch erweitern wir mit D, also gibt das AD, über CD, und den zweiten Bruch erweitern wir mit C, also gibt das BC, über CD.
01:08Jetzt sind beide Nenner identisch, also können die beiden Zähler miteinander addiert werden.
01:15Schauen wir uns das Ganze an einem etwas komplexeren Beispiel an.
01:19Als erstes bestimmen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, auch Hauptnenner genannt.
01:27Dazu zerlegen wir alle Nenner einzeln in Primfaktoren.
01:30Der erste Nenner, 6a, gibt in Primfaktoren 2 mal 3 mal a.
01:38Beim zweiten Nenner gibt es 3 mal a mal b.
01:434b gibt faktorisiert 2 mal 2 mal b, der nächste gibt 2 mal 2 mal 2 mal a mal x mal x.
01:52Denkt daran, dass x hoch 2 das gleiche ist, wie x mal x.
01:58Dann haben wir noch 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal x mal x, und beim letzten Nenner gibt es 2 mal 2 mal 3 mal b mal x mal x.
02:10Jetzt können wir das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen, was dann auch unser Hauptnenner ist.
02:16Dazu schauen wir bei allen unterschiedlichen Faktoren an, welches das häufigste Vorkommen ist.
02:24Der Faktor 2 kommt im ersten Nenner einmal vor, beim zweiten gar nicht, dann 2 mal, 3 mal, 3 mal, und 2 mal vor.
02:33Also ist die häufigste Anzahl 3, also schreiben wir den Faktor 2 3 mal hin.
02:38Der Faktor 3 kommt höchstens einmal vor, a, kommt ebenfalls höchstens einmal vor, ebenso b, und x, kommt höchstens 2 mal vor.
02:502 mal 2 mal 2 mal 3, gibt 24, und x, mal x, gibt x hoch 2.
02:58Also ist unser Hauptnenner 24 a, b, x hoch 2.
03:02Jetzt können wir für die einzelnen Brüche die Erweiterungsfaktoren bestimmen, indem wir den Hauptnenner durch die jeweiligen Nenner dividieren.
03:1224 a, b, x hoch 2, geteilt durch 6 a, gibt 4 b, x hoch 2, also bedeutet das, dass der erste Bruch mit 4 b, x hoch 2, erweitert werden muss.
03:25Der Hauptnenner, durch 3 a, b, gibt 8 x hoch 2, beim dritten gibt es 6 a, x hoch 2, dann 3 b, dann 3 a, b, und beim letzten gibt es 2 a.
03:39Somit wissen wir für jeden Bruch, womit er erweitert werden muss.
03:44Als nächstes bestimmen wir den Zähler, indem wir jeden einzelnen Zähler mit dem jeweiligen Erweiterungsfaktor multiplizieren.
03:52Der erste Zähler ist 1, und der zuvor bestimmte Erweiterungsfaktor ist 4 b, x hoch 2.
04:00Dann haben wir a, minus 2 b, mal 8 x hoch 2.
04:06Achtet darauf, dass a, minus 2 b, in Klammern steht, weil ja der ganze Zähler multipliziert werden muss.
04:12Dann haben wir 3, mal 6 a, x hoch 2, dann Klammer 3 a, minus 4 x hoch 2, mal 3 b, dann noch 9, mal 3 a, b, und schlussendlich Klammer 5 x hoch 2, minus b, mal 2 a.
04:29Nun können wir die einzelnen Summanden noch verrechnen.
04:32Beim ersten können wir die 1 weglassen, weil etwas mit 1 multipliziert, immer noch das gleiche gibt.
04:40Die Klammer können wir ausmultiplizieren, also gibt das plus 8 a, x hoch 2, minus 16 b, x hoch 2.
04:49Dann gibt 3, mal 6, 18.
04:52Bei der nächsten Klammer müsst ihr darauf achten, dass ganz vorne ein Minus steht, also gibt das minus 9 a, b, plus 12 b, x hoch 2.
05:039, mal 3, gibt 27, und zum Schluss haben wir noch plus 10 a, x hoch 2, minus 2 a, b.
05:13Jetzt können wir zusammenfassen.
05:16Beginnen wir alphabetisch.
05:18Minus 9 a, b, plus 27 a, b, minus 2 a, b, gibt 16 a, b.
05:27Bei den a, x hoch 2, haben wir plus 8, minus 18, plus 10, das gibt 0, also schreiben wir nichts hin.
05:36Bei den b, x hoch 2, gibt 4, minus 16, plus 12, auch 0, also schreiben wir auch hier nichts hin.
05:45Also ist der Zähler 16 a, b.
05:48Als nächstes setzen wir den Zähler mit dem Hauptnenner zusammen.
05:5416 und 24 sind beide durch 8 teilbar, also gibt das gekürzt 2 durch 3.
06:01Dann können wir noch a und b kürzen.
06:05Als Schlussresultat erhalten wir somit 2 über 3, x hoch 2.
06:09Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
