Inégalités de Markov et de Bienaymé Tchebychev : Preuve niveau Première/Terminale Spé Maths 😵‍💫

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00:00Tiens-toi prêt, aujourd'hui on démontre les inégalités de Markov et bien-aimés Chebyshev,

00:04mais avec la petite particularité de se restreindre au programme de niveau terminal.

00:08Donc nos variables aléatoires sont des variables aléatoires finies,

00:11mais les idées de cette démonstration peuvent se généraliser pour les énoncer qu'ils sont post-bac.

00:15On rappelle rapidement les hypothèses, on a Z une variable aléatoire positive définie sur un espace probabilisé.

00:21L'inégalité de Markov nous dit que pour tout A strictement positif,

00:24la probabilité que la variable aléatoire positive Z soit supérieure ou égale à A,

00:30est inférieure ou égale à l'espérance de Z divisé par A.

00:33Deuxième inégalité pour tout A strictement positif,

00:35on a la probabilité que la valeur absolue de X moins son espérance,

00:39où X est une variable aléatoire quelconque définie sur un espace probabilisé fini,

00:44que ceci soit supérieur ou égal à A,

00:46c'est inférieur ou égal à la variance de X divisé par A carré.

00:49L'inégalité de bien-aimé Chebyshev peut être vue comme une conséquence de l'inégalité de Markov,

00:54donc on va d'abord démontrer l'inégalité de Markov,

00:56et ensuite voir comment on peut en déduire l'inégalité de BT.

00:59Soit donc grand Z, une variable aléatoire finie quelconque et A strictement positive quelconque,

01:03on va dire que Z c'est cette variable aléatoire,

01:05donc qui est définie sur l'espace probabilisé oméga que je ne vais pas détailler,

01:09et qui nous donne N valeurs réelles.

01:11Bien sûr pour tout I, ZI est supérieur ou égal à 0,

01:14puisque notre VA est positive.

01:16On va de plus supposer que les ZI sont ordonnés par ordre croissant,

01:19donc le plus petit CZ1, le plus grand CZN, etc.

01:22Bien montré l'inégalité de Markov, ça revient à montrer cette inégalité,

01:26et j'ai multiplié ici par A, donc si je vous montre ça,

01:28j'aurai plus qu'à diviser par A pour obtenir ceci.

01:31L'espérance est donnée par cette relation,

01:33donc c'est les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire,

01:36moyennées par leur probabilité, et je fais la somme de tout ça.

01:39Premier cas, on va supposer que A est supérieur strictement à ZN.

01:43Étant donné que grand Z ne peut jamais prendre une valeur qui dépasse ZN,

01:47la probabilité que ZN soit supérieur ou égal à A du coup sera nulle,

01:51puisqu'aucune issue élémentaire ne correspond à cet événement-là.

01:55Donc cette quantité vaudra 0,

01:57mais ici l'espérance, on voit que c'est un truc positif,

01:59il faut une proba qui est aussi positive.

02:01Ça c'est positif, c'est nécessairement supérieur ou égal à 0,

02:04donc dans ce cas-ci, on a bien que l'inégalité de Markov est vraie.

02:07Check.

02:07Deuxième possibilité, on va supposer que A est compris entre Z1 et ZN,

02:11et on rappelle que les Z1 et ZN sont classés par ordre croissant.

02:13Vu qu'on les a classés par ordre croissant,

02:15il y aura nécessairement un I tel que A sera compris entre ZI et ZI plus 1,

02:20A étant strictement supérieur à ZI.

02:23Bien, j'aurai que A fois la probabilité que Z soit supérieur ou égal à A,

02:26ça sera en fait égal à cette somme A fois la probabilité que grand Z soit égal à ZI plus 1,

02:32puisque les issues qui correspondent à être supérieur ou égal à A,

02:36c'est qu'on donne ZI plus 1,

02:38vu que A est strictement plus grand que ZI, mais inférieur ou égal à ZI plus 1,

02:42plus la probabilité qu'on soit égal à ZI plus 2, etc., etc., jusqu'à ZN.

02:46Et donc, en deuxième étape, je distribue les A.

02:49Et vu que A est inférieur ou égal à ZI plus 1,

02:51je peux majorer A par ZI plus 1,

02:53je peux majorer ce A-là par ZI plus 2 qui est plus grand que ZI plus 1,

02:57et ainsi de suite, ce A-là par ZN.

02:59Toute cette expression-là est bien majorée par celle-ci,

03:01puisque les probabilités sont positives,

03:03j'ai ça plus grand que ça, je multiplie par cette proba,

03:05donc j'ai bien ça plus grand que ça,

03:08j'ai bien ça plus grand que ça,

03:10et j'ai bien ça plus grand que ça,

03:12et donc la somme des petits est bien plus petite que la somme des plus grands.

03:16Ça, c'est ni plus ni moins qu'un morceau de l'espérance,

03:18et le reste de l'espérance,

03:19c'est tout simplement les autres valeurs ZI fois la probabilité que grand Z soit égale à ZI.

03:23On sait que les ZI et les probas sont positives,

03:25donc le produit est positif,

03:26donc j'ai tout ça plus d'autres trucs positifs,

03:29donc forcément tout ça, c'est inférieur à la somme totale qui correspond à l'espérance.

03:33Et donc j'ai bien que cette quantité-là est inférieure ou égale à l'espérance de grand Z.

03:38Check !

03:39En premier cas, A est strictement inférieur à Z1,

03:41et avec le même raisonnement que tout à l'heure,

03:43l'événement Z supérieur ou égal à A,

03:45c'est l'union des événements disjoints,

03:46Z est égal à petit Z1,

03:48grand Z est égal à petit Z2, etc.,

03:50grand Z est égal à petit ZN.

03:51Donc cette proba, c'est bien la somme de toutes ces petites probas-là,

03:55et donc j'ai tout ça multiplié par A.

03:57Et je fais la même chose, je distribue le A à chacune des probas,

04:00et chacun des A est plus petit que ZI,

04:02puisque A est plus petit que ZI,

04:04et que les ZI sont classés par ordre croissant,

04:06et donc je majeure comme ça avec les probas.

04:08Finalement, tout ceci est bien plus petit que l'espérance de grand Z.

04:12Check à nouveau.

04:13On a donc bien démontré cette inégalité,

04:15quel que soit A strictement positif,

04:17Z variable aléatoire supérieur ou égal à 0.

04:19Je divise donc par A,

04:21je peux puisque A est différent de 0,

04:22et tada, j'obtiens le bail de Markov.

04:25On passe à l'inégalité de bien-aimé Chebice.

04:27Se donne grand X,

04:28une variable aléatoire quelconque finie, bien sûr,

04:30et A strictement positif.

04:31Je vais poser grand Z est égal à cette variable aléatoire-là,

04:35fabriquée à partir de la variable aléatoire grand X.

04:37Je vais appliquer l'inégalité de Markov à cette nouvelle variable aléatoire grand Z,

04:41qui est un carré de réel,

04:42et qui est donc positif.

04:43Et le A que je vais utiliser là,

04:45ce ne sera pas le même A que ici,

04:47mais simplement A carré.

04:48Donc j'ai la probabilité que grand Z soit supérieur ou égal à A carré,

04:52est inférieur ou égal à l'espérance de grand Z sur A carré.

04:55Oui, mais ici, en développant,

04:56on reconnaît la formule de Koenig-Hugens,

04:57puisque si j'utilise l'identité remarquable ici,

05:00je trouve donc X carré moins 2 fois X espérance de X,

05:03le double produit, vous ne faites pas boulosser,

05:05plus l'espérance au carré,

05:06mais j'utilise la linéarité de l'espérance,

05:08donc j'aurai l'espérance de ce premier truc,

05:10plus l'espérance de ce deuxième truc,

05:12avec le moins 2 qui sort en facteur,

05:14et même l'espérance de X,

05:16puisque ça, c'est une constante

05:17qui ne dépend pas directement des valeurs de X.

05:20Et de même, l'espérance de X au carré,

05:22c'est une valeur qui est constante et qui sort de l'espérance.

05:26J'ai donc ceci.

05:26Je rappelle qu'ici, il y a le moins 2 espérances

05:28qui sort en facteur de l'espérance de X,

05:32donc je me donne bien ceci,

05:33et donc j'ai l'espérance de X carré

05:34fois l'espérance de 1 qui fait 1.

05:36Tout ça divisé par A carré,

05:38je simplifie et j'obtiens bien ceci,

05:40qui d'après la formule de Koenig-Hugens

05:42me donne la variance de grand X sur A carré.

05:45Maintenant, regardons de plus près cet événement

05:46qui est dans la probabilité-là.

05:48On n'a que cette condition équivaut à celle-ci

05:50en passant à la racine carrée d'ici à ici

05:52ou en mettant au carré d'ici à ici.

05:55Attention, quand là je prends la racine carrée,

05:56donc A carré devient A,

05:58et ceci devient une valeur absolue

06:00parce qu'on ne sait pas le signe de X

06:01moins son espérance a priori.

06:03Comme les deux conditions sont équivalentes,

06:05les événements sont bien sûr les mêmes,

06:07puisque pour les valeurs de l'espace probabilisé

06:09où j'aurai cette inégalité,

06:10en passant à la racine,

06:11j'aurai exactement cette inégalité-là,

06:14et inversement pour les valeurs

06:15de l'espace probabilisé où j'aurai ça,

06:17en passant au carré,

06:18j'aurai exactement cette inégalité-là.

06:20Donc en fait, l'inégalité que l'on vient

06:22de démontrer là serait écrite

06:24exactement comme ceci,

06:25ce qui est bien l'inégalité de bien-aimé Chebichev.

06:27Je te laisse vérifier,

06:28c'est vraiment ça qu'on voulait obtenir.

06:29Donc voilà, tu as les démonstrations

06:30de ces deux résultats importants de probabilité.

06:33Sache qu'elles ne sont pas,

06:33à proprement parler,

06:34exigibles au programme du BAC,

06:36mais ça fait toujours du bien

06:37de voir ces démos

06:38pour savoir comment ça fonctionne,

06:40et surtout, ça te donne les idées

06:41pour les démos des énoncés plus généraux.

06:45Voilà, n'hésite pas à poser tes questions

06:46si jamais tu en as en commentaire.

06:48Bisous !

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