00:00Wenn mehrere Potenzen den gleichen Exponenten haben, können sie zusammengefasst werden.
00:06In diesem Video schauen wir uns an, wie man Potenzen mit gleichen Exponenten dividiert.
00:14Beginnen wir mit ein paar theoretischen Grundlagen.
00:19Nehmen wir an, wir wollen die Potenz a hoch n durch b hoch n dividieren.
00:24Dann ist a hoch n gleichbedeutend, wie wenn wir n mal den Faktor a haben.
00:31Und b hoch n ist n mal den Faktor b.
00:35Weil wir im Zähler und im Nenner gleich viele Faktoren haben, können wir jeweils ein a mit einem b als separaten Bruch schreiben.
00:45Somit haben wir insgesamt n mal den Faktor a durch b.
00:50Das ist das gleiche wie a durch b hoch n.
00:54Also lautet das Potenzgesetz a hoch n geteilt durch b hoch n ist gleich a geteilt durch b hoch n.
01:02Oder, Potenzen mit gleichen Exponenten werden miteinander dividiert, indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.
01:13Schauen wir uns das an ein paar Beispielaufgaben an.
01:17Bei diesem Beispiel haben wir zwei Brüche, die jeweils hoch 3 gerechnet werden und dann dividiert werden.
01:24Weil beide Brüche den gleichen Exponenten haben, können wir den ersten Bruch durch den zweiten Bruch teilen und das ganze hoch 3 rechnen.
01:34Damit aus der Division eine Multiplikation wird, tauschen wir beim zweiten Bruch den Zähler mit dem Nenner und wechseln das geteilt durch Zeichen in ein Malzeichen.
01:43Jetzt können wir in der Basis kürzen.
01:49Als erstes kürzen wir 14 mit 7, da bleibt im Zähler eine 2 übrig, und die 9 kürzen wir noch mit 3, und es bleibt im Zähler eine 3 übrig.
01:592 mit 3 multipliziert, gibt 6.
02:026 hoch 3, ausgerechnet gibt als Schlussresultat, 216.
02:10Machen wir weiter mit dem zweiten Beispiel.
02:14Beide Potenzen haben den gleichen Exponenten, also nehmen wir die beiden Basen in die gleiche Klammer, und rechnen diese hoch 3.
02:21Beim ersten Zähler handelt es sich um eine dritte binomische Formel, also schreiben wir die Wurzel von 25, a hoch 2, also 5a, plus die Wurzel von 4, b hoch 2, also 2b, mal Klammer 5a, minus 2b.
02:39Den ersten Zähler übernehmen wir unverändert.
02:42Das geteilt durch Zeichen ersetzen wir durch ein Malzeichen und vertauschen im nachfolgenden Bruch den Zähler mit dem Nenner.
02:49Somit wird der zweite Zähler zum Nenner im zweiten Bruch.
02:55Und der zweite Nenner gibt ausgerechnet 16, also ist das der neue Zähler im zweiten Bruch.
03:02Jetzt können wir noch kürzen.
03:05Wir kürzen die Klammer 5a, minus 2b.
03:08Und wenn wir 16 mit 8 kürzen, bleibt im Zähler eine 2 übrig.
03:14Also bleibt Klammer 5a, plus 2b, mal 2, hoch 3, übrig.
03:212 hoch 3, gibt 8, und die Klammer hoch 3, gibt einfach Klammer 5a, plus 2b, hoch 3.
03:30Somit ist der Ausdruck so weit, wie möglich, vereinfacht.
03:33Mit diesem Video geht es weiter, und in dieser Playlist findet ihr alle Videos zu diesem Thema.
