On explique le théorème de Lagrange sur l'interpolation polynomiale.#polynomials #lagrange

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00:00On soulève Lagrange-Camp, interpolation Lagrangienne, épisode 2.

00:04Dans l'épisode précédent, voire dans la description sur mon profil,

00:07on a parlé des Li2x construits de cette façon,

00:09qui forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré O plus N moins 1,

00:13quand on se donnait une famille de réels x1, xn distincts.

00:15Eh bien, cette famille x1, xn étant fixée,

00:18alors le théorème de Lagrange s'énonce comme suit.

00:20Pour tout B1, Bn dans R, le polynôme P2x défini par la relation

00:24somme pour i variant de 1 à n des Bi Li2x,

00:28où les Li2x sont comme ça,

00:30est l'unique polynôme de degré inférieur ou égal à n moins 1

00:33qui vaut Bi en xi.

00:36En regardant la manière dont c'est construit,

00:37tu peux voir assez facilement pourquoi on a bien cette propriété.

00:40Déjà, on vaut Bi en xi parce que les LiX ont justement été construits

00:44pour qu'ils vaillent 1 en xi et 0 pour tous les autres xj.

00:48Donc si là, je l'applique en un xk, par exemple,

00:50on ne va pas prendre i puisque i est ici dans l'indice,

00:52si je l'applique en xk, eh bien, il n'y en a qu'un seul qui restera

00:55et j'aurai donc le Bk qui va rester fois 1 et tous les autres 0.

00:58J'aurai donc bien P de xk égale Bk.

01:01Et pourquoi ce polynôme est unique ?

01:02Propriété hyper intéressante.

01:04Bien sûr, on avait deux tels polynômes.

01:06En considérant le polynôme P1 moins P2,

01:08on n'a que ce nouveau polynôme,

01:10qui est de degré O plus n moins 1,

01:12puisque tous les deux le sont,

01:13s'annule pour tous les xi.

01:14x1, x2, tatatata, xn.

01:16Mais c'est un polynôme de degré O plus n moins 1

01:19qui s'annule en une valeur distincte.

01:21Donc nécessairement, c'est le polynôme nul

01:22et donc P1 est égal à P2.

01:24Ce polynôme est donc bien unique.

01:26Et de manière générale,

01:27n'importe quel polynôme de degré O plus n moins 1

01:30s'écrit de cette façon.

01:31Pour les mêmes raisons que tout à l'heure,

01:33les Li de xi vont tous se simplifier,

01:35sauf celui qui va laisser la valeur

01:37et j'aurai bien que P2 petit xk

01:39sera égal à P2 petit xk.

01:41Maintenant, propriété hyper importante et intéressante,

01:43les polynômes d'interpolation de Lagrange

01:45ont un lien avec les matrices de Vandermonde.

01:48Oui, oui, oui.

01:49J'explique ça dans une prochaine vidéo

01:50si tu bombardes les commentaires

01:51en lâchant un Vandermonde, c'est le boss.

01:54Allez, me déçois pas.

01:55Bisous.

01:55Sous-titrage Société Radio-Canada

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