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TOSCANELLI - Studio
  • 12/10/2024

Catégorie

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Éducation
Transcription
00:00Alors exercice 5, on vous dit soite que la fonction définie sur R par Q de X
00:04égale 2 sinus de X, donc c'est 2 fois sinus de X plus 3 X moins 5, dériver Q puis
00:09déterminer les variations de Q. Donc Q prime de X ça donne donc 2 fois la
00:16dérivée de sinus de X, donc moyen mnémotechnique sinus ça commence comme
00:19sympa, donc la dérivée de sinus vous savez que c'est cos, et la dérivée de cosinus, cos ça
00:24commence comme c-o-n, donc la dérivée de cos c'est moins sinus, donc la dérivée de sinus
00:28c'est cos, donc ça fait 2 fois cos de X plus 3 fois X, donc 3 moins 5, et donc la
00:34dérivée est égale à 2 cos de X plus 3. Et donc on vous demande les variations de
00:42Q, donc pour avoir les variations de Q il nous faut le signe de la dérivée, et là
00:45on a 2 cos de X plus 3, alors c'est quoi le signe de ça ? Et donc là il faut
00:51connaître une propriété de la classe de première, vous savez que sur le cercle
00:54trigonométrique, donc je rappelle que c'est le cercle de rayons une unité, donc là je suis
00:59à un moins un, lorsque j'ai un point sur le cercle trigonométrique, je rappelle que le
01:03cosinus de X c'est l'abscisse de ce point, et donc on concepte bien que sur le cercle
01:09trigonométrique l'abscisse c'est toujours un nombre compris entre moins un et un,
01:15donc là on écrit or on sait que un cosinus c'est entre moins un, donc inférieur
01:23au égal, le cosinus peut valoir moins un, donc cos de X c'est toujours entre moins un et un,
01:30compris, le cosinus peut valoir moins un et un, donc on sait qu'un cosinus c'est entre moins un et un,
01:35sauf que nous on veut 2 cos de X plus 3, donc on va multiplier par 2, donc lorsqu'on multiplie
01:41par 2 le sens des inégalités ne change pas, lorsqu'on multiplie par un nombre positif,
01:44donc on me fait fois 2 à gauche, fois 2 à droite, fois 2 au milieu, donc moins un fois 2 moins 2,
01:492 fois cos de X, et fois 2 à droite 2, et nous il faut rajouter ensuite plus 3,
01:58donc on va faire plus 3 à gauche, plus 3 au milieu, et plus 3 à droite, et donc on voit bien
02:08que 2 cos de X plus 3 c'est toujours compris entre 1 et 5, donc on peut dire que la dérivée
02:15Q' de X qui est égale à 2 cos de X plus 3, qu'est-ce qu'on peut dire de notre dérivée,
02:20et bien qu'elle sera tout le temps positive, pour 2 cos de X plus 3 ça va être un nombre entre 1 et 5,
02:25donc la dérivée sera strictement positive, elle sera tout le temps positive notre dérivée,
02:30donc on fait son tableau des signes, X moins l'infini plus l'infini, le signe de la dérivée,
02:37donc Q', on vient de montrer que la dérivée est tout le temps positive, donc ça il faut l'écrire
02:43sur une copie, donc la dérivée est tout le temps positive, et donc d'après le théorème,
02:48dérivée positive, fonction Q strictement croissante sur R, on vérifie sur NumWork ce que ça donne,
02:57donc 2 cos de X plus 3 X moins 5, donc 2 cos de X plus 3 X moins 5, et normalement on doit obtenir
03:18une fonction strictement croissante, si on regarde, on se met bien en automatique, ça ne va pas,
03:24et on voit bien, c'est tout le temps strictement croissant, parfait, on passe à la fonction M,
03:40donc fonction M, on vous demande soit M la fonction définie sur R par M de X égale 5 fois cos X moins 8X plus 1,
03:45dériver la fonction M, puis déterminer les variations de M, donc on y va, M' de X, ça donne donc 5 fois cos de X,
03:55la dérivée de cos, on dérive entre parenthèses et un moins qui apparaît, donc c'est moins sin de X moins 8X plus 0,
04:07donc M' de X est donc 5 fois moins sin de X, ça donne moins 5 sin de X moins 8, on a notre dérivée,
04:18et donc la question c'est de savoir quel est le signe de la dérivée, comme tout à l'heure on l'a vu en première,
04:23je rappelle que le sinus, ça représente l'ordonnée sur le cercle trigonométrique, donc le cercle trigonométrique
04:29c'est un cercle de rayon 1, donc là je suis en moins 1, 1, et lorsque j'ai un point sur le cercle trigonométrique,
04:37le sinus c'est son ordonnée, donc vous pouvez faire plein de points, on regarde son ordonnée,
04:44et donc on constate bien que le sinus de X est un nombre qui est compris entre moins 1 et 1,
04:49donc on écrit or sin de X, c'est un nombre compris entre moins 1, le sinus de X est supérieur ou égal à moins 1,
04:59et le sinus de X est inférieur ou égal à 1, un sinus est toujours entre moins 1 et 1,
05:04sauf qu'ensuite nous on a moins 5 fois, attention c'est un fois, c'est moins 5 fois sin de X,
05:09donc ce que l'on va faire c'est qu'on va multiplier par moins 5 à gauche, à droite et au milieu,
05:14sauf que vous savez que lorsqu'on multiplie par un nombre négatif, on change le sens des inégalités,
05:19ici K on a multiplié par moins 5, K on multiplie par un nombre négatif,
05:26on multiplie par moins 5, donc au milieu ça va donner moins 5 sin de X,
05:34à droite 1 fois moins 5, moins 5, et ici moins 1 fois moins 5, 5,
05:41et ensuite il faut qu'on fasse moins 8, donc on va faire moins 8 à droite, moins 8 au milieu, moins 8 à gauche,
05:46donc 5 moins 8 ça donne moins 3, moins 5 sin de X moins 8, et moins 5 moins 8 moins 13,
05:58donc là on a montré que moins 5 sin de X moins 8 c'est toujours compris entre moins 13 et moins 3,
06:04donc qu'est-ce que l'on peut dire de la dérivée, donc M' de X qui vaut moins 5 sin de X moins 8,
06:15et bien ça la dérivée elle est toujours entre moins 3 et moins 13, donc la dérivée est tout le temps négative,
06:21et donc X moins l'infini jusqu'à plus l'infini,
06:26la dérivée vu qu'elle est toujours compris entre moins 3 et moins 13 est tout le temps négative,
06:32et donc on applique le théorème en indiquant que la fonction M est strictement décroissante sur moins l'infini plus l'infini,
06:40et après je vous laisse vérifier à la calculatrice que c'est bien cohérent graphiquement,
06:45voilà pour la correction de l'exercice 5.

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