TSTI2D- Correction exercice 3 - Dérivation - Vidéo Dailymotion

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00:00Parcice 3. Soit h, la fonction définie sur R, par h de x égale moins x au cube plus 12 x carré moins 21 x moins 1.

00:05Donc ça c'est une fonction polynome du troisième degré.

00:08On vous demande question 1.

00:14Question 1. Calculez l'image de 1 et l'image de 7 par h.

00:18Donc allons-y.

00:23Donc l'image de 1, h de 1,

00:25ça donne donc moins, attention, moins x au cube, c'est moins 1 fois x au cube.

00:31Donc ça donne moins 1 au cube.

00:35Donc attention, ce que je veux dire c'est que le cube s'applique uniquement sur le x.

00:40Vous voyez là, la puissance 3 c'est que sur le x, sinon on aurait mis des parenthèses, on aurait moins x le tout au cube.

00:46Mais là il n'y a que le x qui est au cube, donc attention, là c'est uniquement le 1 qui est au cube.

00:51Donc ça fait moins 1 au cube.

00:53Plus 12 fois, pareil là c'est que le x qui est au carré, donc 12 fois 1 au carré.

01:00Moins 21 fois 1, moins 1.

01:03Ce qui donne moins 1 au cube, 1 au cube c'est 1 fois 1 fois 1, ce qui donne 1.

01:09Plus 1 au carré c'est 1, donc 12 fois 1 plus 12, moins 21, moins 1.

01:16Donc 12 moins 21 ça donne moins 9, moins 9, moins 1, moins 10, moins 11.

01:24Et ensuite on vous demande d'ajouter 7, donc ça donne moins 7 au cube, que le 7 qui est au cube.

01:32Plus 12 fois 7 au carré, moins 21 fois 7, moins 1.

01:38Alors 7 au cube, 7 fois 7, 49, 49 fois 7, 343, donc ça va donner moins 343.

01:48Plus 12 fois 7 au carré, 7 au carré 49, donc 12 fois 49, 588.

01:56Moins 21 fois 7, moins 147, moins 1.

02:02Et donc ça, ça donne moins 343, plus 588, moins 147, moins 1, 97.

02:14Alors le jour du baccalauréat, vous avez le droit à la calculatrice.

02:18Donc vous pouvez vérifier vos résultats.

02:21Donc là on prend notre calculatrice, Open New Work.

02:24Pourquoi je prends New Work ? Parce que c'est la seule dont l'émulateur est gratuit en ligne.

02:30Donc plein écran.

02:31Et là vous allez dans le grapheur, je vous l'ai déjà montré, ajouter un élément.

02:35Et on ajoute une fonction.

02:37Et donc là on peut écrire notre fonction pour vérifier.

02:39Moins x, donc la puissance 3.

02:43Ah oui, il faut que j'appuie sur la touche calculatrice.

02:45Moins x puissance 3.

02:48Hop, c'était, tac, plus 12x², moins 21x, moins 1.

03:07Hop, on peut tracer sa courbe représentative.

03:09Donc on voit bien, ce qui peut vous rassurer qu'elle sera d'abord décroissante, puis croissante, puis décroissante.

03:15Et ensuite le tableau de valeurs.

03:16Donc on a vu que quand x vaut 1, l'image vaut moins 11, c'est exactement ça.

03:20Et quand x vaut 7, ah, 97.

03:25Oui, ben c'était ça, moins 11 et 97.

03:27Donc voilà, le jour du baccalauréat, ça vous permet de vérifier vos résultats.

03:30Sur une copie par contre, il faut détailler les calculs, il faut écrire ce que j'ai écrit.

03:34Il faut au moins écrire ça.

03:35Si vous balancez la réponse sans aucun résultat, on va faire...

03:38Ben d'accord, bizarre.

03:40Donc là on est déjà rassuré.

03:42Et donc nous, comme on veut son tableau de variations, vous pouvez regarder ici.

03:47Donc là, il faut peut-être un peu dézoomer, et même se déplacer.

03:52Mais on constate bien qu'on aura d'abord, vous pouvez constater une fonction décroissante,

03:56puis ensuite elle sera croissante, et ensuite décroissante.

03:59Donc dans notre tableau de variations, on doit obtenir ça à la fin.

04:02Décroissante, puis croissante, on dirait à partir de x vaut 1.

04:06Quand x vaut 1 jusqu'à x égale 7.

04:09Ben tiens, c'est bizarre, c'est les deux images qu'on a calculées.

04:12On a calculé f d'1 et f de 7.

04:14C'est là où ça passe de décroissant à croissant, décroissant à décroissant.

04:17Donc ça va être décroissant, croissant, décroissant.

04:20Donc on s'attend à trouver ça à la fin.

04:28Question 2.

04:29Donc on vous demande de dériver H.

04:31Bien évidemment, pourquoi on vous demande de dériver H ?

04:33Parce que lorsqu'on a le signe de la dérivée, on obtient les variations de H.

04:36Donc dérivons la fonction H.

04:38Donc ça va donner moins...

04:40Il faut déjà écrire H', vu qu'on veut dériver H.

04:43Donc c'est H' de x est égale à...

04:47Donc moins x³, donc ça va donner moins...

04:50Et la dérivée de x³, on fait tomber le 3.

04:53Et sur le x, il nous en reste 2.

04:54Donc ça donne moins 3x², plus 12x², 12 fois 2x.

05:00Moins 21 fois x, la dérivée est moins 21, moins 0.

05:04Ce qui donne moins 3x², plus 24x, moins 21.

05:14Ensuite, question 3.

05:16On vous demande de montrer que la dérivée est égale à ça.

05:19Donc en fait, on vous donne la dérivée sous forme factorisée pour pouvoir faire son tableau de signes.

05:23Alors là, si on veut faire le tableau de signes, si on résout H' égale 0,

05:26on ne saurait pas résoudre cette équation.

05:29Donc c'est pour ça qu'on vous dit de montrer que la dérivée s'écrit sous cette forme factorisée.

05:33On part de ce que l'on nous donne.

05:35Donc on écrit moins 3 fois x moins 1, fois x moins 7, égale...

05:43Donc on démarre par la simple distributivité.

05:45J'ai moins 3 fois ça, donc simple distributivité.

05:48Donc parenthèse, ça donne moins 3x.

05:50Et moins 3 fois moins 1, plus 3.

05:54Fermez la parenthèse, fois x moins 7.

06:00Et là, on effectue la double distributivité.

06:02Moins 3 fois x, moins 3x².

06:06Ensuite, moins 3 fois moins 7, moins et moins, plus...

06:10Et 3x, fois 7, 21x.

06:13Ensuite, on a plus 3 fois x, plus 3x.

06:18Et ensuite, plus 3 fois moins 7, moins 21.

06:22Ce qui donne moins 3x², plus 24x, moins 21.

06:28Et là, on est rassuré, c'est exactement égal à la dérivée.

06:33Ça c'est bien égal à h' de x.

06:35Donc notre dérivée, c'est bien moins 3 fois x moins 1, fois x moins 7.

06:40Question 4.

06:42Dresser le tableau de signes de la dérivée.

06:44Donc ce que l'on va faire, c'est que l'on va dresser le signe de x moins 1,

06:47le signe de x moins 7,

06:49et à la fin on va faire moins 3 fois x moins 1, fois x moins 7.

06:52Donc on marque x ici.

06:54On va faire le signe de x moins 1,

06:58le signe de x moins 7,

07:02et attention, à la fin, on aura le signe de la dérivée, donc h'.

07:07Et attention, ce sera moins 3, faut pas l'oublier,

07:10fois x moins 1, fois x moins 7.

07:17Hop, à la règle.

07:25Hop.

07:32Voilà.

07:34Donc on démarre, le signe de x moins 1,

07:36donc le signe c'est dire quand c'est nul, positif, négatif.

07:39Donc on va d'abord résoudre quand x moins 1 vaut 0,

07:43et on résout quand x moins 1 est positif,

07:46donc être positif et être strictement positif.

07:48Donc x moins 1 égale 0 c'est une équation,

07:50on effectue plus 1 à gauche, plus 1 à droite,

07:52donc x vaut 1.

07:54Et là, pour résoudre l'inéquation,

07:56on effectue plus 1 à gauche, plus 1 à droite,

07:58et on trouve x plus grand que 1.

08:01On fait la même chose pour le signe de x moins 7,

08:04donc on saute une étape, on laisse un petit écart ici,

08:07donc on résout quand x moins 7 vaut 0,

08:10et on va résoudre quand x moins 7 est plus grand que 0.

08:14x moins 7 vaut 0, on effectue plus 7 à gauche, plus 7 à droite,

08:18c'est quand x vaut 7,

08:20et là, on effectue x plus 7 à gauche, plus 7 à droite,

08:23x plus grand que 7.

08:26Et donc on va pouvoir compléter notre tableau de signes,

08:28donc x de moins l'infini jusqu'à plus l'infini.

08:32On a trouvé x vaut 1, x vaut 7,

08:34donc là on va écrire 1,

08:36donc c'est bien de gauche à droite, 1 est plus petit que 7,

08:38donc 1, 7, attention à l'ordre,

08:401, 7, moins l'infini, 1, 7,

08:42et on le lit tranquillement,

08:43quand x vaut 1,

08:45donc quand mon x est égal à 1,

08:47x moins 1 vaut 0,

08:49donc là quand x vaut 1,

08:51x moins 1 vaut 0.

08:56Ensuite ici, quand x vaut 7,

08:59donc on se met en x égale 7,

09:00quand x vaut 7,

09:01x moins 7 vaut 0.

09:03Donc quand x vaut 7,

09:04x moins 7 vaut 0.

09:08Et après, on utilise les inéquations,

09:11donc là on a montré que quand,

09:13il faut bien savoir dire,

09:15x plus grand que 1,

09:17quand x est strictement plus grand que 1,

09:19donc les nombres plus grands que 1 vont de 1 à plus infini,

09:22quand x est plus grand que 1,

09:24x moins 1 est plus grand que 0,

09:26donc x moins 1 est strictement positif.

09:28Donc quand x est plus grand que 1,

09:30les nombres plus grands que 1 sont ici,

09:33x moins 1 est plus grand que 0,

09:35donc x moins 1 est positif,

09:37donc plus, plus,

09:39et donc négatif ici.

09:43Et ensuite, deuxième inéquation,

09:47on vous dit que quand x est plus grand que 7,

09:50donc quand x est strictement supérieur à 7,

09:53donc les nombres strictement plus grands que 7 vont de 7 jusqu'à plus infini,

09:57quand x est strictement plus grand que 7,

09:59x moins 7 est plus grand que 0,

10:02donc x moins 7 est positif.

10:04Donc quand x est plus grand que moins 7,

10:06x moins 7 est positif ici.

10:09Et donc avant, moins, moins.

10:13Et ensuite on a le signe de la dérivée,

10:15donc la dérivée, je rappelle, c'est moins 3 fois x moins 1 fois x moins 7.

10:19Donc attention, la dérivée, donc moins 3,

10:21c'est un nombre négatif,

10:23donc ça va donner un nombre négatif,

10:25que l'on va multiplier par x moins 1,

10:27donc ici,

10:29donc là x moins 1,

10:31donc moins 3 est négatif,

10:32ici x moins 1 c'est un nombre négatif,

10:34et ensuite on va le remultiplier par x moins 7 ici,

10:37qui est un nombre négatif.

10:39Donc moins 3, négatif,

10:40fois x moins 1 négatif fois x moins 7 négatif,

10:43donc un nombre négatif fois un nombre négatif ça donne un nombre positif,

10:45et un nombre positif fois un nombre négatif ça donne un nombre négatif.

10:50Ensuite ici on aura moins 3 fois 0,

10:52alors là x moins 1 vaut 0,

10:54donc lorsque j'ai 0 fois un nombre ça donne 0.

11:00On continue,

11:01ensuite moins 3 c'est un nombre négatif,

11:03on va le multiplier ici par x moins 1 qui est négatif,

11:07donc négatif fois positif,

11:09et ensuite on le multiplie par x moins 7 qui est négatif,

11:11donc ça fait négatif,

11:13fois positif,

11:14fois négatif,

11:15ce qui donne un nombre positif.

11:19Ensuite 0 fois un nombre ça va donner 0,

11:23et on termine avec moins 3 qui est un nombre négatif,

11:26on le multiplie par x moins 1 qui est un nombre positif,

11:30et on ne multiplie pas exactement celle qui est un nombre positif, donc ça fait

11:33négatif fois nom positif fois nom positif, ce qui donne un nombre négatif, et on a

11:37donc obtenu le signe de la dérivée. Et donc question 5, en déduire les

11:44variations de H, donc vous savez très bien que le signe de la dérivée donne

11:48les variations de la fonction H d'après le théorème, donc la signe de H prime,

11:53donc la variation de H, la fonction H, on applique le théorème sur moins l'infini

12:001, la dérivée est négative, donc la fonction H sera décroissante, sur

12:05l'intervalle 1, 7, la dérivée est positive, donc la fonction H sera

12:10strictement croissante, et sur l'intervalle 7 plus l'infini, la dérivée

12:15est négative, donc la fonction H sera décroissante. Et comme tout à l'heure, on

12:19ajoute les images, quand x vaut 1, son image c'est H de 1, et quand x vaut 7,

12:25son image c'est H de 7. Et ça, on l'a déjà calculé à la question 9, et

12:30j'ai trouvé moins 11 et 97. Et donc, on a montré que la fonction est

12:39décroissante sur moins l'infini 1, puis croissante de 1 sur l'intervalle 1, 7, puis

12:44décroissante sur 7 plus l'infini. On peut regarder ce qu'on avait tracé sur

12:47la numWork, et on constate bien que quand x va de moins l'infini jusqu'à x

12:53égal 1, les abscisses jusqu'à x égal 1, j'ai bien une fonction

12:57décroissante. Ensuite, quand x va de 1, il faut regarder l'abscisse jusqu'à x

13:03égal 7, l'abscisse c'est de 1 jusqu'à 7, j'ai bien une fonction croissante, et

13:08ensuite de 7 jusqu'à plus l'infini, la fonction est bien décroissante. Donc

13:13tout est parfaitement cohérent.

TSTI2D- Correction exercice 3 - Dérivation

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