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Théorème de Thalès (3ème)
Yvan Monka Site officiel : https://www.maths-et-tiques.fr/
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01:00et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre.
01:04Plus précisément, on verra comment reconnaître évidemment une configuration de Thalès de façon générale,
01:10comment distinguer le théorème de Thalès de sa réciproque,
01:14et enfin, quelles sont les applications possibles du théorème de Thalès.
01:18Pour préparer un contrôle ou un examen, cela ne suffira pas bien évidemment,
01:22il te faudra t'entraîner sur des exercices,
01:25et pour cela, je te conseille ensuite de cliquer sur le lien qui s'affiche,
01:30qui te mènera vers d'autres vidéos proposant de nombreux exercices sur le thème du théorème de Thalès.
01:35C'est parti, on peut commencer.
01:38Alors, on le voit ici, le théorème de Thalès met en jeu des triangles.
01:42En réalité, il y a deux versions du théorème de Thalès.
01:45C'est le même théorème, mais simplement qu'il se trouve dans deux situations géométriques qui sont différentes.
01:51Une situation qui se passe dans un triangle, et une autre situation dite papillon.
01:57Ça ressemble un peu à un nœud papillon ou un papillon.
02:00On va commencer par la première situation, la situation dans un triangle.
02:04Si on regarde de plus près cette configuration,
02:07on remarque qu'il y a en réalité ici, non pas un, mais deux triangles.
02:13J'ai même dédoublé un triangle, celui le plus intérieur, le triangle vert,
02:18le triangle AB'C' pour bien le faire ressortir.
02:22En réalité, le côté AB' se trouve confondu avec le côté AB.
02:27Le côté AB' est sur AB.
02:28J'ai fait ici un double trait, juste pour voir, mais géométriquement ce n'est pas juste.
02:32On a donc un triangle AB'C' en vert, le petit,
02:36et un triangle ABC en bleu, le grand.
02:39On dirait que ces deux triangles se ressemblent beaucoup.
02:42Un peu comme si l'un était un clone de l'autre, mais l'un est plus petit que l'autre.
02:46Eh bien, en réalité, oui, ces deux triangles se ressemblent terriblement.
02:51Ce sont même des triangles semblables.
02:53Je rappelle que des triangles semblables ont leur côté deux à deux proportionnel.
02:58On est quasiment là en train de donner le théorème de Thalès.
03:01La seule différence, c'est que le théorème de Thalès trouve une situation très particulière.
03:06Enfin, plutôt deux, comme je l'ai dit.
03:07Donc, on a nos deux triangles.
03:10Le triangle vert qui a son côté AB' qui se trouve confondu avec le côté AB, l'un et sur l'autre.
03:19En gros, on dit que B' appartient à AB.
03:21Et pareil, en bas, on a donc le côté AC' qui se trouve sur le côté AC.
03:27Et du coup, si les deux triangles sont semblables, qu'arrive-t-il ?
03:31On a les troisièmes côtés, B' C' et BC, qui sont parallèles.
03:37C'est ça un petit peu qui va changer dans le théorème de Thalès.
03:40Parce que cette dernière condition va être principalement la seule qu'on aura à vérifier dans les exercices
03:48pour mettre en œuvre le théorème de Thalès.
03:50Concrètement, on dira, si j'ai B' qui se trouve sur AB, si j'ai C' qui se trouve sur AC,
03:57tel que B' C' est parallèle à BC,
04:01eh bien, je peux mettre en œuvre le théorème de Thalès.
04:05Regardons ce théorème de Thalès sur une figure animée.
04:09J'ai donc là, je promène B' et C' sur leur côté AB et AC respectifs.
04:15Et on voit, donc, on garde le parallélisme sur B' C' et BC.
04:19Les deux triangles, le vert et le bleu, sont toujours des triangles semblables.
04:26Les droites sont parallèles, on a dit donc, condition principale qu'il faudra vérifier dans les exercices.
04:32Mais alors ?
04:33Tout ça, pour l'instant, je n'ai parlé que des conditions.
04:36Mais au fait, quelle est la conclusion ?
04:38Qu'est-ce qui nous dit le théorème de Thalès ?
04:40Alors, je l'ai un petit peu dit, j'ai parlé de proportionnalité sur les côtés du triangle.
04:45Eh bien, oui, c'est ça exactement la conclusion du théorème de Thalès.
04:50Si je prends le rapport AB' sur AB.
04:54Si je prends le rapport AC' sur AC.
04:57Et le rapport B'C' sur BC.
05:01Donc, à chaque fois, j'ai pris deux côtés qui se correspondent sur un triangle et sur l'autre.
05:05On va voir ça plus en détail tout de suite.
05:07Et que je regarde, eh bien, combien valent ces rapports.
05:13Je constate que je trouve strictement la même chose.
05:17Je peux déplacer mes points B' et C' pour avoir une nouvelle configuration de Thalès.
05:22Je vois que les trois rapports sont toujours égaux.
05:24Et je peux faire comme je veux, en promenant B' et C' sur AB et sur AC.
05:29Pourvu qu'on ait le parallélisme sur les deux droites rouges, eh bien, je garde les trois rapports égaux.
05:35Eh bien, c'est ça que dit le théorème de Thalès.
05:38On peut le regarder maintenant de façon générale.
05:42Si dans un triangle ABC, on a B' qui appartient à AB et C' qui appartient à AC.
05:51Avec les deux droites rouges B' et C' parallèles à BC.
05:55Eh bien, dans ce cas, les trois rapports AB' sur AB, AC' sur AC et B' et C' sur BC sont égaux.
06:04Voilà la version du théorème de Thalès.
06:07Alors ça, c'est la première version, la version dans un triangle.
06:11On va voir tout de suite la deuxième version.
06:14Mais avant ça, je voudrais juste me poser sur ces trois rapports.
06:18Parce qu'on pourrait apprendre ce théorème par cœur.
06:21Et puis, le ressortir en exercice quand on en a besoin.
06:26Mais le problème, c'est que là, ici, nos triangles s'appellent ABC et A'B'C'.
06:32Mais dans un exercice, ils porteront peut-être un autre nom.
06:35MNP et MQR.
06:37Et alors là, comment je fais avec ma formule ?
06:40Donc, ce n'est pas la formule qu'il faut apprendre par cœur.
06:42C'est plutôt le concept qu'il faut bien comprendre.
06:45Comment est construite cette formule ?
06:48Alors, regardons comment elle est construite et attachons-nous simplement juste à la formule.
06:53Alors, on retrouve notre formule.
06:56J'ai mis quelques couleurs pour coder.
06:58Il y a déjà un point qui joue un rôle particulier.
07:02C'est le point A.
07:03On le voit.
07:03Je l'ai mis quatre fois en mauve.
07:05Et il joue un rôle particulier, déjà, parce que c'est le sommet commun à nos deux triangles.
07:10Quand je regarde mes deux triangles, donc ABC, le grand, et AB'C' le petit, je vois qu'ils ont tous les deux, ici, un sommet commun qui est A.
07:21Et bien, ce A, on le retrouve donc quatre fois dans les deux premiers rapports de ma formule.
07:27Ensuite, regardons tous les rapports qui se trouvent en haut sur la première ligne.
07:32AB', AC', B'C', AB', AC', B'C'.
07:40Autrement dit, en haut, au numérateur, je retrouve tous les côtés du petit triangle.
07:47En bas, AB, AC, BC.
07:52Et bien, en bas, au dénominateur de chacune de ces fractions, je retrouve à chaque fois les côtés du grand triangle.
08:00Donc, déjà, ça, on peut s'en rappeler, petit triangle sur grand triangle.
08:05Je précise qu'on pourrait tout inverser et mettre grand triangle sur petit triangle.
08:10Mais bon, il faut bien se mettre d'accord, il faut faire un choix.
08:13À partir du moment où on dit que c'est petit triangle sur grand triangle,
08:17il faut mettre systématiquement en haut que les côtés du petit et en bas que les côtés du grand.
08:22Il ne faudrait pas inverser sur l'un ou l'autre rapport.
08:25Soit on le fait pour tous, soit on le fait pour aucun.
08:27Donc, en haut le petit, en bas le grand.
08:29On a la lettre A qu'on retrouve quatre fois.
08:31Regardons maintenant le premier rapport.
08:34AB prime sur AB.
08:36AB prime sur AB.
08:39Eh oui, il y a quand même une correspondance entre ces deux côtés.
08:42On voit bien, on a AB prime qui se retrouve sur AB.
08:45Et je fais bien travailler AB prime et AB ensemble dans le premier rapport.
08:50Ce qui veut dire que tout naturellement, le deuxième rapport, ça va être AC prime sur AC.
08:54C'est-à-dire maintenant, je vais travailler sur ces côtés-là.
08:57AC prime sur AC.
09:00Je prends toujours appui sur A, le sommet commun, et je fais AB prime sur AB, AC prime sur AC.
09:08Et enfin, le troisième rapport, eh bien, ce sont tout simplement les troisièmes côtés.
09:12Pour l'instant, j'ai travaillé avec ceux qui étaient ici, ceux qui étaient ici, mais pas encore ceux-là.
09:18Eh bien, le troisième rapport, c'est B prime, C prime sur BC.
09:22C'est-à-dire les deux côtés qui sont parallèles dans le théorème de Thalès.
09:27Et à partir de là, eh bien, ça devient très facile d'appliquer le théorème de Thalès dans n'importe quelle situation.
09:36Je vais mettre des lettres au hasard, M, R, S, T et U.
09:43Et je vais écrire donc mon théorème de Thalès, cette fois-ci, dans cette nouvelle configuration.
09:49Eh bien, je prends appui sur M et je commence par dire MT petit sur MU, grand.
09:56MT sur MU, égale.
10:01Je m'attaque maintenant à ces côtés-là, en commençant par petit, je prends appui sur M, petit côté, MR sur grand MS.
10:10MR sur MS, égale.
10:15Et enfin, les troisièmes, toujours d'abord le petit, TR sur le grand US.
10:21TR sur US.
10:24Et voilà, je viens d'écrire le théorème de Thalès, enfin plutôt la double égalité sur les rapports du théorème de Thalès,
10:32avec cette fois-ci des lettres tout à fait différentes des précédentes.
10:36On peut attaquer la deuxième version, la version papillon.
10:39Alors, pour bien comprendre la version papillon, eh bien, on va partir de la version triangle.
10:44On retrouve donc notre figure dynamique.
10:47Et là, je suis toujours en train de promener un point B' sur AB et un point C' sur AC.
10:54Mais je vais aller un peu plus loin, c'est-à-dire que je vais me permettre de quitter le triangle ABC
11:01et de décaler le point B' à l'extérieur du segment AB du côté de A et le point C' à l'extérieur du côté AC et du côté de A également.
11:14Mais toujours en gardant le parallélisme sur les côtés BC et B' C'.
11:21Allons-y, on y va.
11:22On tire, on passe le sommet A et on arrive de l'autre côté maintenant, un peu comme une symétrie.
11:28Mais ce n'est pas une symétrie puisque les triangles ABC et AB' C' n'ont pas des côtés égaux.
11:36Ils ont des côtés 2 à 2 proportionnels, ce qui n'est pas la même chose.
11:40Et je me retrouve ici avec une nouvelle situation, la situation dite papillon.
11:45Et quand on regarde les rapports AB' sur AB, AC' sur AC et B' C' sur BC, eh bien, on retrouve l'égalité sur les trois rapports.
11:54Le théorème de Thalès reste valable même quand on ne se trouve plus dans le triangle ABC.
12:02On peut regarder maintenant notre théorème de façon générale.
12:05Eh bien, on retrouve exactement la même structure du théorème.
12:10La seule chose qui change, on le voit, c'est au départ dans un triangle ABC où B' appartient à la droite AB et C' appartient à la droite AC.
12:21On s'est permis de quitter le côté AB et le côté AC.
12:26On garde la condition, celle-ci, je répète, c'est la condition la plus importante et celle qu'il faut toujours vérifier avant d'utiliser Thalès.
12:34B' C' parallèle ABC et on retrouve donc nos trois rapports égaux qui font qu'on a proportionnalité sur nos deux triangles semblables.
12:46Voilà les deux versions du théorème de Thalès.
12:49Mais au fait, le théorème de Thalès, il sert à quoi ?
12:52Eh bien, le théorème de Thalès, il va servir tout simplement à calculer des longueurs dans des triangles quelconques.
13:00Jusque là, on avait le théorème de Pythagore qui nous permet de faire des calculs de longueurs, mais dans des triangles rectangles.
13:06Ici, sous certaines conditions, bien sûr, on va avoir des rapports de longueurs qui sont égaux.
13:15Et à partir de là, si je connais certaines longueurs, je vais pouvoir calculer d'autres longueurs.
13:22Par exemple, j'ai donc mes rapports et je connais certaines longueurs.
13:28On va dire, je sais que AB' vaut 5, je sais que AC' vaut 6, je sais que AC vaut 4 et je sais que B'C' vaut 10.
13:39Eh bien, à partir de là, je vais pouvoir calculer par exemple AB.
13:43Et oui, parce que je me retrouve ici avec deux rapports qui sont égaux.
13:50Je connais trois valeurs, je cherche la quatrième.
13:54On est ici dans le cadre d'une quatrième proportionnelle.
13:56Et ça, on sait faire AB est égal à 5 multiplié par 4 divisé par 6.
14:035 multiplié par 4 divisé par 6.
14:06Tu effectues ce calcul et tu trouveras la longueur AB.
14:10Je ne développe pas plus parce que là, on est déjà dans le cadre de méthodes qui sont expliquées dans les exercices liés plus haut.
14:17De la même façon, on pourrait calculer BC.
14:22Pareil, je suis ici, j'ai quatre valeurs avec deux rapports de longueur qui sont égaux.
14:29Je connais 3, je cherche la quatrième.
14:32Je fais 10 fois 4 divisé par 6.
14:35Eh bien, en effectuant ceci, divisé par 6, j'ai dit, en effectuant ceci, tu trouverais la longueur BC.
14:43Voilà à quoi peut servir le théorème de Thalès dans un triangle ou en configuration papillon.
14:50Passons maintenant à la réciproque du théorème de Thalès.
14:53Alors, pour la réciproque du théorème de Thalès, on retrouve nos deux versions dans un triangle et la version dite papillon.
15:02Mais le théorème ne fonctionne pas de la même manière quand il est réciproque.
15:06Alors, je peux te conseiller d'ailleurs, si tu ne comprends pas bien ce que c'est qu'une propriété réciproque,
15:12c'est là encore de te rendre sur le lien ici.
15:15Tu trouveras une vidéo qui explique plus en détail ce que c'est qu'une propriété réciproque.
15:19D'autant qu'ici, pour le théorème de Thalès, c'est effectivement une version réciproque du théorème que je viens d'expliquer dans le début de cette vidéo.
15:29Mais la réciproque n'est pas vraiment clairement apparente parce qu'on n'échange pas de façon parfaite la condition et la conclusion qui fait que c'est une version réciproque.
15:40Bon, ceci étant dit, qu'est-ce qu'elle dit cette réciproque du théorème de Thalès ?
15:46Eh bien, elle nous dit que si jamais on a deux rapports qui sont égaux, deux rapports de longueur sur deux triangles,
15:54dans ce cas-là, on a un parallélisme.
15:57Alors, on reconnaît quand même qu'on a échangé une partie de la condition et de la conclusion,
16:02puisque tout à l'heure dans le théorème direct, on devait avoir au départ comme condition le parallélisme.
16:09Alors que là, ici, on le voit bien, le théorème nous dit, alors BC est parallèle à B'C'.
16:16Donc, ce qui était condition devient conclusion ici dans la réciproque.
16:21Mais alors, quelle est la condition ?
16:22Eh bien, je l'ai dit juste avant, on doit avoir deux rapports de longueur qui sont égaux.
16:28Mais pas trois, deux seulement.
16:30Alors, pourquoi deux seulement ?
16:32Tout simplement parce que si on en a deux, on a forcément le troisième,
16:37pourvu que la condition de Thalès soit respectée,
16:39c'est-à-dire que soit j'ai une version dite papillon, soit j'ai un triangle dans l'autre.
16:44Donc, du coup, ce n'est pas la peine de vérifier que les trois rapports de longueur sont égaux.
16:49Dans la pratique, on n'en vérifiera que deux.
16:52Et ces deux rapports, habituellement, ce sont les deux premiers,
16:55c'est-à-dire AB' sur AB et AC' sur AC.
17:00Si jamais on a une des deux versions ici,
17:04qui fait qu'on a AB et B' qui sont alignés dans le même ordre que AC et C'.
17:12On le voit dans la version triangle, j'ai AB'B et AC'C.
17:17Alors que dans la version papillon, j'ai B'AB, C'AC.
17:24On garde cet alignement dans le même ordre.
17:27Donc, si on a ça, si on a cette situation, de toute façon, dans les exercices, en fait,
17:32l'alignement dans le même ordre, on ne s'en préoccupe pas.
17:34Parce que dans les exercices, on va chercher à reconnaître une de ces deux situations.
17:39Si tu ne reconnais pas du tout cette situation, on ne parlera même pas du théorème de Thalès.
17:43On est d'accord.
17:44Donc, en fin de compte, dans la pratique,
17:46le début du théorème, donc ce qui n'est pas noté en rouge, j'ai envie de dire,
17:51voilà, c'est la figure qui le dit.
17:53Par contre, ce qu'il faudra vérifier et s'assurer qu'on l'a bien,
17:58c'est le fait que AB' sur AB soit égal à AC' sur AC.
18:03Ce qui veut dire que pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès,
18:08il faudra nécessairement qu'on possède les longueurs AB'AB, AC'AC.
18:14Si on ne les a pas, soit on peut les calculer d'une autre manière,
18:19soit on n'utilise pas la réciproque du théorème de Thalès, ça c'est clair.
18:24Si c'est le cas, eh bien, on calcule AB' sur AB,
18:27on calcule AC' sur AC,
18:30on vérifie que ces deux rapports sont égaux.
18:33S'ils sont égaux, eh bien, on conclut, dans ce cas,
18:37BC est parallèle à AB'C'
18:39que ce soit pour la version triangle ou pour la version papillon.
18:44Donc, tu l'as bien compris, à quoi sert la réciproque du théorème de Thalès ?
18:48Elle sert évidemment à prouver qu'on a un parallélisme
18:52dans une construction, dans une figure géométrique du plan.
18:57Il faut donc bien distinguer le théorème de Thalès
19:00qui sert à calculer des longueurs,
19:04la réciproque du théorème de Thalès
19:06qui sert à prouver qu'on a le parallélisme.
19:11Alors, que se passe-t-il si jamais
19:14je dispose bien de toutes les longueurs,
19:17j'ai une configuration qui ressemble à quelque chose,
19:20à une configuration de Thalès,
19:22du coup, je calcule mon AB' sur AB,
19:25mon AC' sur AC,
19:27et je trouve pas la même longueur.
19:30Je trouve pas le même rapport, pardon.
19:32Qu'est-ce qu'on va en conclure ?
19:33Eh bien, on va en conclure, évidemment,
19:36que les droites ne sont pas parallèles.
19:39Mais attention, petite subtilité ici,
19:42ce n'est pas la réciproque du théorème de Thalès.
19:45Car la réciproque du théorème de Thalès,
19:48elle dit quoi ?
19:49Elle dit,
19:50si tu as égalité sur les rapports,
19:52alors tu as parallélisme.
19:54Mais elle ne dit pas,
19:55si tu n'as pas égalité sur les rapports,
19:57alors tu n'as pas parallélisme.
20:00Elle ne dit pas ça.
20:01En réalité,
20:03celle-ci s'appelle la contraposée du théorème de Thalès.
20:08Mais bon, j'ai envie de dire ici,
20:10ce n'est pas très grave si tu ne le comprends pas.
20:13Ce qui est juste important,
20:15c'est de ne pas dire que tu utilises
20:17la réciproque du théorème de Thalès
20:20quand tu n'as pas l'égalité sur les rapports.
20:23Dans ce cas-là, tu diras tout simplement,
20:25je n'ai pas l'égalité sur les rapports,
20:27donc les droites ne sont pas parallèles.
20:29Point. Terminé.
20:31Pour cela, je ne rentre pas plus en détail
20:32dans cette démonstration,
20:34car c'est quelque chose que j'explique
20:35bien plus précisément
20:36dans les vidéos qui sont liées là-haut.
20:39Voilà. On en a donc fini
20:41avec le théorème et sa réciproque.
20:45Si cette vidéo t'a bien aidé, tant mieux.
20:47Maintenant, je le dis et je le répète,
20:49il est très important de s'entraîner,
20:51de faire des exercices
20:52pour bien assimiler ces notions,
20:55surtout si elles sont nouvelles.
20:56Cette séquence est terminée.
20:59Sous-titrage Société Radio-Canada
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