Convergence dominée : trouver à coup sûr la meilleur majorant.#integrales #convergence #prepa

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00:00Chers spé qui passent des concours, ceci est ton petit rappel quotidien que si jamais tu as besoin d'utiliser le théorème de convergence dominée,

00:06que ce soit pour intervertir intégral et limite ou pour une dérivation,

00:09alors si tu mets beaucoup de temps à trouver une fonction majorante, c'est peut-être le moment de te dire qu'il faut lâcher l'affaire.

00:15Je m'explique.

00:16On reprend cet exemple que j'avais déjà développé dans un précédent rappel quotidien.

00:20Il s'agit donc de démontrer le théorème de dérivabilité sous le signe intégral,

00:24et donc je dois être amené à majorer ceci pour appliquer la convergence dominée.

00:27Je précise qu'on le fait pour x dans R plus étoile.

00:30Je te laisse réfléchir deux secondes à une fonction majorante qui est valable pour toute valeur de x rectement positive.

00:37C'est bon, t'as trouvé ?

00:38Eh bien, si tu as cherché sur R plus étoile, tu as dû te rendre compte que c'était un petit peu galère de trouver.

00:43Et pour cause, en fait, il n'y en a pas.

00:45Une telle fonction n'existe pas, et ça peut se voir assez facilement dans certains cas comme celui-ci.

00:50On va expliquer pourquoi.

00:51Le théorème de convergence dominée exigerait qu'on trouve une fonction g qui vérifie ceci pour tout x dans 0 plus l'infini.

00:57Et de plus, g doit être intégrable, évidemment.

00:59Sauf qu'en fait, on peut toujours exprimer la plus petite des fonctions g qui va vérifier ceci pour tout x dans 0 plus l'infini ouvert.

01:07Ça va être donné par cette expression, le sup de l'expression que l'on veut majorer sur l'ensemble de valeurs de x.

01:13Quelle que soit la fonction majorante que tu pourrais trouver, cette fonction majorante sera toujours plus grande que celle-ci,

01:18et celle-ci sera toujours plus grande que ça.

01:20Autrement dit, s'il existe une fonction g qui satisfait les conditions,

01:23on aura toujours cette double inégalité pour tout x dans 0 plus l'infini ouvert.

01:28Pourquoi ?

01:28Eh bien, notez que pour chaque valeur de t, ceci, c'est un sup qui est pris en x.

01:33Donc à t fixé, ceci est bien plus grand que n'importe quelle expression de ce type pour les valeurs de x dans l'ensemble considéré.

01:39Et de même, vu que g de t est plus grande que l'expression ici pour tout x dans 0 ouvert plus l'infini,

01:45ça veut dire que g de t à t fixé est un majorant de cette expression pour chaque valeur de x,

01:50mais le sup, c'est par définition le plus petit des majorants de ces expressions pour x dans 0 plus l'infini ouvert.

01:56Donc vu que c'est le plus petit des majorants et qu'il majeure, il est plus grand que cette expression,

02:00et il est nécessairement plus petit que n'importe quelle fonction g de t qui vérifierait ça.

02:05Donc votre plus petite fonction dominante possible, c'est toujours cette expression-là,

02:09et vous ne pourrez jamais faire mieux.

02:11Sauf qu'ici, on peut calculer ce sup.

02:13Et on a que le facteur qui dépend de t ici peut sortir du sup,

02:16puisque le sup, c'est la norme infinie et c'est une norme,

02:19et donc par propriété d'absolue homogénéité de la norme,

02:22j'ai bien ce facteur qui est positif, qui me sort du sup,

02:25vu que ça ne dépend pas de x et que le sup est pris sur x.

02:28On peut le redémontrer à partir des inégalités et de la définition du sup comme plus petit des majorants.

02:32Je te laisse montrer en commentaire assez facilement que le sup de ceci, c'est égal à 1,

02:37et donc on a que c'est égal à la valeur absolue de t sur 1 plus t carré.

02:40Donc la meilleure fonction dominante pour cette expression, c'est ceci,

02:44et ceci, ça n'est pas intégrable sur 0 plus l'infini,

02:47puisque l'intégrale était pour t dans 0 plus l'infini,

02:50parce qu'on est équivalent à 1 sur t en plus l'infini.

02:52Donc ici, la domination n'est pas possible pour x dans r plus étoile,

02:55d'où l'astuce que j'avais donnée dans le précédent rappel.

02:58Bisous !

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