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Soutien scolaire gratuit donné par les professeurs de mathématiques du lycée Pierre Bourdan de Guéret.
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ÉducationTranscription
00:00Bonjour, la consigne de cet exercice consiste à écrire les nombres A, B, C, D et E suivants
00:13sans radical au dénominateur.
00:15Commençons par les calculs de A, B et C.
00:18Nous rappelons que nous ne changeons pas la valeur d'une écriture fractionnaire
00:22si nous multiplions son numérateur et son dénominateur par une même quantité non nulle.
00:27Prenons A qui est égal à 7 sur racine carrée de 5.
00:30Par quel nombre pouvons-nous multiplier 7 et racine carrée de 5
00:34pour que le dénominateur devienne un entier ?
00:38C'est la consigne de l'exercice.
00:39Pour cela, nous allons utiliser la propriété suivante de votre cours.
00:44La racine carrée de A multipliée par elle-même la racine carrée de A donne petit a.
00:49Ainsi, puisqu'au dénominateur nous avons racine carrée de 5,
00:52il suffit de multiplier par racine carrée de 5
00:55pour avoir au dénominateur racine carrée de 5
00:58multipliée par racine carrée de 5 qui va donner 5.
01:02Nous allons donc multiplier numérateur et dénominateur de A
01:06par racine carrée de 5.
01:08A égale 7 racine carrée de 5 sur 5.
01:12Alors évidemment, des racines carrées sont apparues au numérateur,
01:16mais la consigne était de les faire disparaître du dénominateur.
01:20Si vous avez compris, eh bien B va se faire tout seul.
01:25Le dénominateur est égal à 3 fois racine carrée de 2.
01:29Il suffit de multiplier par racine carrée de 2
01:34le numérateur et le dénominateur
01:36pour que, au dénominateur,
01:40la racine carrée de 2 multipliée par elle-même la racine carrée de 2
01:44donne 2.
01:45ainsi, B est égal à 4 fois racine carrée de 2
01:50sur 3 fois 2.
01:53Bien sûr, nous ne nous arrêtons pas ici
01:55puisqu'il y a un facteur 2
02:00qui va sortir du 4 au numérateur
02:02et un facteur 2 au dénominateur
02:04qui vont pouvoir s'éliminer.
02:07Le numérateur est égal à 2 fois 2 fois racine carrée de 2.
02:10Le dénominateur est égal à 3 fois 2.
02:13Nous simplifions.
02:15Et B est égal à 2 racine carrée de 2 divisé par 3.
02:18Passons à C qui est égal à 9 sur racine carrée de 8.
02:22On pourrait, comme nous l'avons fait pour A et B,
02:26multiplier numérateur et dénominateur de C
02:29par la racine carrée de 8.
02:32Nous obtiendrions C égale 9 racine carrée de 8
02:36sur racine carrée de 8 fois racine carrée de 8
02:39et donc 9 racine carrée de 8 divisé par 8.
02:42Mais ce résultat, nous pouvons le simplifier
02:45parce qu'on peut travailler la racine carrée de 8.
02:49En effet, 8 étant égal à 4 fois 2,
02:53la racine carrée de 8 est donc égale
02:55à la racine carrée de 4
02:56multipliée par la racine carrée de 2,
02:59soit 2 fois racine carrée de 2.
03:02Remplaçons racine carrée de 8
03:03par 2 racines de 2 dans notre calcul de C.
03:07Nous obtenons C égale 9 fois 2 racines de 2
03:10à diviser par 8.
03:13En décomposant 8 sous la forme 4 fois 2,
03:16nous faisons apparaître la simplification
03:19de cette écriture fractionnaire
03:21par 2 au numérateur et au dénominateur
03:24pour obtenir C égale 9 racine carrée de 2 sur 4.
03:27Puisqu'on n'est pas resté à ce dénominateur
03:30égal à 8,
03:32on peut se poser la question
03:33de refaire le calcul de C
03:35mais en travaillant d'emblée
03:39la racine carrée de 8 du départ.
03:42Je reprends donc le calcul depuis le début
03:45en ne conservant pas racine carrée de 8
03:48mais en l'écrivant sous sa forme
03:502 racine carrée de 2.
03:52Et tout comme on l'a fait pour le calcul
03:54de la valeur de B,
03:56il nous suffit maintenant
03:58de multiplier numérateur et dénominateur
04:00par racine carrée de 2
04:01pour faire disparaître
04:03cette racine carrée de 2 au dénominateur.
04:06C est donc égale à 9 racine de 2
04:08divisé par 2 fois racine carrée de 2
04:11fois racine carrée de 2,
04:12c'est-à-dire 9 racine carrée de 2
04:15que divise 2 fois 2,
04:18reprenons bien,
04:19racine carrée de 2 multipliée par elle-même
04:21racine carrée de 2
04:22est égale à 2.
04:23Et nous concluons C égale
04:259 racine carrée de 2 sur 4.
04:27Les calculs de D et de E
04:29sont un tout petit peu plus délicats
04:30puisque nous avons une somme
04:33ou une différence
04:35au dénominateur.
04:36Eh bien, pour rendre
04:38ces dénominateurs entiers,
04:39nous allons faire appel
04:42à la troisième identité remarquable
04:44qui nous dit que
04:46a plus b facteur de a moins b
04:48est égale à a carré moins b carré.
04:52Prenons le calcul de D.
04:53Le dénominateur de D
04:55est de la forme a plus b
04:57avec 2 plus racine carrée de 3.
05:00Nous allons donc multiplier
05:02numérateur et dénominateur
05:05par a moins b,
05:07c'est-à-dire 2 moins racine carrée de 3.
05:09Ainsi, le dénominateur
05:11de la forme a plus b
05:12facteur de a moins b
05:14va être remplacé par
05:16a carré moins b carré.
05:18Ce dénominateur est donc égal
05:19à 2 au carré moins racine carrée de 3 au carré
05:23qui nous donne
05:244 pour le carré de 2
05:26moins 3 pour le carré
05:28de la racine carrée de 3.
05:30Finalement, ce dénominateur
05:32qui est égal à 4 moins 3,
05:33c'est-à-dire 1,
05:34eh bien, disparaît.
05:35et D est égal à 8
05:38facteur de 2 moins racine carrée de 3
05:40que l'on pourrait, si on souhaite,
05:42développer.
05:42Cela donnerait
05:43D égale 16 moins 8 racine carrée de 3.
05:48Je ne l'écris pas.
05:49Vous avez compris la technique
05:50avec D.
05:52Eh bien, en observant
05:53l'expression de E,
05:54le dénominateur de E
05:55est de la forme a moins b
05:58et il suffit donc
05:59de le multiplier
06:00par a plus b
06:02pour utiliser
06:03la troisième identité remarquable
06:05et avoir le résultat
06:06a carré moins b carré.
06:08Ce dénominateur
06:09est donc égal
06:10à racine carrée de 11
06:11au carré
06:12moins racine carrée de 6 au carré
06:14soit 11 moins 6
06:17et E est égal
06:18au produit de
06:191 plus 2 racine de 3
06:21par racine de 11
06:22plus racine de 6
06:24le tout à diviser par 5.
06:26Cet exercice est terminé.
06:27Bon courage !
06:28Sous-titrage Société Radio-Canada
06:30Sous-titrage Société Radio-Canada