Cours - 1ère spé - La fonction racine carrée - Vidéo Dailymotion

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00:00racine carrée et les propriétés de la racine carrée,

00:03donc granta la fonction racine carrée.

00:06Donc définition de la fonction racine carrée, donc on appelle fonction racine carrée

00:10la fonction définie, attention, sur 0 compris plus l'infini par f de x égale racine carrée de x.

00:15Et en effet, la racine carrée d'un nombre strictement négatif n'existe pas.

00:21Donc là, par exemple, si vous écrivez ça, racine carrée de moins 3,

00:25racine carrée de moins 3, ça n'existe pas.

00:28La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.

00:30Par contre, racine carrée de 0, ça existe, là, le 0 est compris.

00:34Donc on prend 0, en effet, racine carrée de 0, ça vaut 0,

00:38car vous savez que 0 fois 0, ça donne 0.

00:41Un autre exemple, vous savez que la racine carrée de 100, ça vaut 10,

00:45car 10 fois 10, ça vaut 100, et 10 est un nombre positif.

00:50Donc si je vous demande, par exemple, la racine carrée de moins 25,

00:54ça n'existe pas, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.

00:58Pourquoi ça n'existe pas ? Car vous savez que 5 fois 5, ça vaut 25,

01:03donc ça ne donne pas moins 25, et vous savez également que

01:06moins 5 fois moins 5, ça vaut 25, donc ça ne donne pas moins 25.

01:10Donc en fait, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas,

01:13car un nombre fois lui-même qui donne moins 25 n'existe pas.

01:17Donc la fonction racine carrée est définie sur 0 compris jusqu'à plus l'infini

01:21par f de x égale racine carrée de x.

01:24Donc là, voici ci-dessous un tableau de valeur de la fonction racine carrée.

01:28Donc quand x vaut 0, là j'ai la racine carrée de 0, et la racine carrée de 0 vaut 0.

01:33Ensuite quand x vaut 1, la racine carrée de 1, ça vaut 1,

01:37car 1 fois 1 vaut 1, et 1 est un nombre positif.

01:40Ensuite on va d'abord faire ça, la racine carrée de 4, ça vaut 2,

01:44car 2 fois 2, ça donne 4, et 2 est un nombre positif.

01:47Ensuite la racine carrée de 9, ça vaut 3,

01:50car 3 fois 3 donne 9, et 3 est un nombre positif.

01:53Quand x vaut 25, la racine carrée de 25 vaut 5,

01:57car 5 fois 5 donne 25, et 5 est un nombre positif.

02:00Et la racine carrée de 36, ça vaut 6, car 6 est un nombre positif,

02:04et 6 fois 6 donne 36.

02:05Donc on a tracé sa courbe représentative.

02:08Et donc là j'ai deux valeurs.

02:09Quand x vaut 2, la racine carrée de 2, ça ne donne pas une valeur exacte.

02:13Là ça vaut environ, donc la valeur exacte c'est racine carrée de 2.

02:17Si vous voulez une valeur approchée, c'est environ 1,41 centième près.

02:21C'est pour ça que là, quand x vaut 2,

02:24c'est cohérent qu'on soit vers les 1,41 ici, en ordonnée.

02:28Et quand x vaut 3, la racine carrée de 3 vaut environ,

02:32là j'insiste, c'est bien environ 1,73.

02:35Et donc, quand x va de 0 jusqu'à plus l'infini,

02:40ici, on a la courbe représentative de la fonction racine carrée.

02:46Donc on dit que la fonction racine carrée est strictement croissante de 0 à plus l'infini,

02:50et que le minimum de la fonction racine carrée, ça vaut 0,

02:53la valeur la plus bas qu'elle atteint, c'est 0, atteint x égale 0.

02:56Donc si on dresse son tableau de variation,

02:58quand x va de moins l'infini,

03:00alors voilà, c'est par réflexe, donc c'est complètement faux, vous voyez, par habitude.

03:04Attention, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas,

03:07donc c'est quand x va de 0 ici, jusqu'à plus l'infini,

03:13la fonction racine carrée est strictement croissante sur 0 plus l'infini.

03:20Et quand x vaut 0, la racine carrée de 0 vaut 0.

03:25Et ensuite, si on dresse le tableau de signes de la fonction racine carrée,

03:29donc c'est écrit là, le signe,

03:31donc pour tourelle x positive, la racine carrée de x est tout le temps supérieure ou égale à 0.

03:36En effet, on a sa courbe représentative,

03:38on constate bien que la racine carrée est tout le temps positive.

03:41Et de plus, on a l'équivalence, la racine carrée de x égale à 0, ça équivaut à x vaut 0.

03:47Donc si on dresse le tableau de signes x,

03:51le signe de racine carrée de x,

03:55quand x vaut 0, la racine carrée vaut 0,

03:58et quand x va de 0 à plus l'infini,

04:00une racine carrée est tout le temps positive, donc signe plus.

04:05Et ensuite, on va passer à quelques propriétés de la racine carrée.

04:11On vous dit que pour tourelle x positive, lorsque j'ai une racine carrée au carré,

04:16ça vaut x, donc racine carrée de x au carré, ça vaut x.

04:20Et également, pour tourelle x positive, quand j'ai x au carré,

04:25et que je prends sa racine carrée, ça me donne x.

04:28Et si x est négatif,

04:30donc la racine carrée de x au carré, c'est égale à la valeur absolue de x.

04:34Donc par exemple, si on vous demande la racine carrée de moins 5 au carré,

04:37donc on calcule déjà moins 5 au carré, moins 5 fois moins 5, ça donne 25,

04:42et la racine carrée de 25, c'est 5, et 5 c'est bien égal à la valeur absolue de moins 5.

04:49Ensuite, propriétés, soit x, y de tourelle positive,

04:52alors la racine carrée de x fois y,

04:55c'est égal à la racine carrée de x fois la racine carrée de y,

04:59donc vous pouvez encadrer celle-là, celle-là, et celle-là.

05:05Donc la racine carrée de x fois y,

05:07c'est pareil que la racine de x fois la racine carrée de y.

05:11Et pareil pour les fractions,

05:14soit x, y de tourelle positive avec y différente de 0,

05:17donc lorsque j'ai la racine carrée d'une fraction,

05:20on vous dit que c'est égal à la racine carrée du numérateur sur la racine carrée du dénominateur.

05:28Multiplication, division,

05:30sauf qu'attention ici, pour l'addition, ça ne marche pas,

05:34soit x et y de tourelle positive,

05:36alors la racine carrée de x plus y est strictement inférieure à la racine carrée de x plus la racine carrée de y.

05:41Donc vous, vous devez retenir que cela implique

05:44que la racine carrée de x plus y n'est pas égale à la racine carrée de x plus la racine carrée de y.

05:51Donc ça marche avec la multiplication, la division, mais pas avec l'addition.

05:57Alors on va faire l'application 5,

05:59donc on vous dit de montrer que racine carrée de 8 c'est égal à 2 fois racine carrée de 2,

06:03donc racine carrée de 8 égale,

06:07et on va essayer d'appliquer la propriété ici, donc 8,

06:12on laisse la racine carrée, on peut le décomposer en 4 fois 2,

06:17égale, et là je vais appliquer ma propriété ici,

06:21donc le égal j'applique la propriété là,

06:23la racine carrée de x fois y c'est donc la racine carrée de x fois y,

06:27donc là c'est racine carrée de 4 fois racine carrée de 2,

06:33et la racine carrée de 4 c'est 2,

06:35car 2 fois 2, 4 et 2 est un nom positif,

06:37donc ça donne 2 fois racine carrée de 2,

06:40et vous savez qu'en mathématiques souvent on n'écrit pas les fois,

06:43lorsqu'on a une somme distributive 8 et 2 fois x plus 3,

06:46le fois on ne l'écrit pas, mais on sait qu'il y a un fois,

06:48donc là pareil 2 fois racine carrée de 2, on sait qu'il y a un fois,

06:51ça se note 2 fois racine carrée de 2,

06:53et souvent on n'écrit pas le fois.

06:56Pareil on peut montrer racine carrée de 75,

07:02alors 75 ça peut se décomposer en 25 fois 3,

07:0525, 50, 75 c'est 25 fois 3,

07:11on applique la propriété ici,

07:14racine carrée de 25 fois 3 c'est donc racine carrée de 25 fois racine carrée de 3,

07:19la racine carrée de 25 ça vaut 5,

07:22car 5 fois 5 vaut 25 et 5 est un nom positif,

07:24donc ça donne 5 fois racine carrée de 3,

07:26ce qui nous donne 5 racine carrée de 3.

07:32Ensuite question 2, cette fois-ci on a des fractions,

07:35donc racine carrée de 1 sur 49,

07:38d'après la propriété lorsque j'ai la racine carrée d'une fraction,

07:41c'est la racine carrée d'une numérateur sur la racine carrée d'une numérateur,

07:44donc c'est racine carrée de 1 sur racine carrée de 49,

07:50la racine carrée de 1 ça vaut 1,

07:52car 1 fois 1 donne 1 et 1 est un nom positif,

07:54et la racine carrée de 49 c'est 7,

07:56car 7 fois 7 vaut 49 et 7 est un nom positif,

07:59et ensuite racine carrée de 8 sur 144,

08:05la racine carrée d'une fraction c'est la racine carrée du numérateur

08:08sur la racine carrée du dénominateur,

08:14alors la racine carrée de 8, on va utiliser le résultat de la question 1,

08:18on a montré que c'est 2 fois racine carrée de 2,

08:21donc c'est 2 fois racine carrée de 2,

08:25et racine carrée de 144 c'est 12,

08:28en effet 12 fois 12 vaut 144,

08:31et là on peut simplifier, j'ai 2 fois racine carrée de 2,

08:3512 vous savez que c'est 2 fois 6,

08:38et donc lorsqu'on a des multiplications,

08:412 fois racine carrée de 2, 2 fois 6, on peut simplifier,

08:44parce qu'on a des multiplications,

08:47et donc il reste bien racine carrée de 2 sur 6.

08:55Et question 3, on vous demande de calculer racine carrée de 25,

08:59et racine carrée de 9 plus 16, et qu'est-ce qu'on peut en déduire ?

09:02Racine carrée de 25, ça on sait que ça vaut 5,

09:06car 5 fois 5 vaut 25 et 5 est un nom positif,

09:09et on vous demande de calculer racine carrée de 9 plus racine carrée de 16,

09:16la racine carrée de 9 c'est 3,

09:19plus la racine carrée de 16 c'est 4,

09:22donc ça donne 7.

09:26Donc qu'est-ce qu'on peut en déduire ?

09:29On sait que 5 n'est pas égal à 7,

09:34donc ça veut dire que la racine carrée de 25,

09:38n'est pas égale à la racine carrée de 9,

09:42plus la racine carrée de 16.

09:45Et donc 25, on peut dire que c'est aussi 9 plus 16,

09:49donc ça veut dire que la racine carrée de 9 plus 16,

09:52ce n'est pas égal à la racine carrée de 9,

09:55plus la racine carrée de 16.

09:58C'est la propriété qu'on a vu ici.

10:01Lorsque j'ai une addition, on ne peut pas séparer les racines carrées en deux.

10:04La racine carrée de 9 plus 16 n'est pas égale à la racine carrée de 9,

10:08plus la racine carrée de 16.

10:10Ça marche avec les multiplications,

10:13avec les fractions, les divisions,

10:16mais pas avec l'addition ni la soustraction.

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