Cours - 1ère spé - La fonction valeur absolue - Vidéo Dailymotion

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00:00Alors, grand 2, la fonction valeur absolue.

00:03Donc, valeur absolue d'un nombre réel.

00:05Déjà, c'est quoi la valeur absolue ?

00:07La valeur absolue d'un nombre réel X

00:09est la distance entre 0 et X sur la droite numérique.

00:13Et elle se note, valeur absolue de X,

00:15donc c'est un X avec une barre à gauche et une barre à droite,

00:18ça se dit valeur absolue de X.

00:20Donc concrètement, c'est la distance,

00:22donc si là j'ai 0, 1, 2, 3, je ne sais pas,

00:25donc si j'ai un nombre réel X ici qui vaut X,

00:28la valeur absolue de X

00:30c'est donc la distance

00:32entre 0

00:35et X.

00:37Alors, premier exemple,

00:39on vous demande valeur absolue de 3.

00:41Donc là j'ai 0, 1, 2,

00:443, 4,

00:46etc., 5, 6,

00:48donc la valeur absolue de 3

00:50c'est la distance qu'il y a

00:52entre 0

00:54et 3.

00:56La distance entre 0 et 3, c'est 3,

00:58il y a 3 unités d'écart.

01:00Ensuite, on vous demande la valeur absolue de

01:02moins 5, donc moins 1,

01:04moins 2, moins 3, moins 4,

01:06moins 5, il est là moins 5,

01:08et la valeur absolue de moins 5

01:10c'est la distance qu'il y a entre 0

01:12et moins 5.

01:14Donc entre 0 et moins 5,

01:16il y a une distance

01:18de 5 unités.

01:20Ensuite, la valeur absolue de 0,

01:22donc la distance entre 0 et 0,

01:24il y a 0 unités d'écart.

01:26Pi, la valeur absolue

01:28de Pi, donc c'est Pi.

01:32La valeur absolue de moins 2,7,

01:34donc moins 1, moins 2,7,

01:36on est là.

01:38Donc la valeur absolue de moins 2,7

01:40c'est la distance entre moins 2,7

01:42et 0, donc il y a une distance de 2,7

01:44unités.

01:46La valeur absolue de 5 tiers,

01:48il y a donc une distance de 5 tiers.

01:50La valeur absolue de moins racine carrée de 2, c'est donc racine carrée de 2.

01:52La valeur absolue de 10 puissance 3

01:54c'est donc 10 puissance 3

01:56et 10 puissance 3 c'est 10 fois 10 fois 10

01:58ce qui donne 1000.

02:00La valeur absolue de 6 vaut 6

02:02parce que la distance entre 0 et 6 vaut 6

02:04et la valeur absolue de moins 6 vaut 6

02:06car la distance entre 0 et moins 6 vaut 6.

02:10Et donc cette fois-ci, c'est dans l'autre sens qu'on vous demande

02:12on vous demande de résoudre dans R

02:14si cela est possible, les équations suivantes.

02:16Donc résoudre une équation, c'est trouver

02:18toutes les valeurs que l'on peut donner à l'inconnu.

02:20Ici, mon inconnu c'est x

02:22donc sur une copie, quand je résouds une équation

02:24je dois avoir donc x égale.

02:26Donc là, la question

02:28c'est pour quelle valeur de x

02:30la valeur absolue est-elle égale à 25?

02:32Et bien j'ai donc

02:34pour x égale 25

02:36en effet, si x vaut 25

02:38la valeur absolue de 25 vaut 25.

02:42Mais est-ce qu'il n'y a que x égale 25

02:44donc c'est pour x égale 25 ou

02:46x égale

02:48également moins 25

02:50en effet, si x vaut moins 25

02:52la valeur absolue de moins 25

02:54vaut 25.

02:56Donc là, il y avait deux solutions

02:58x qui vaut 25 ou x qui vaut moins 25.

03:00Ici, pour quelle valeur de x

03:02la valeur absolue vaut-elle 0?

03:04Donc ici, c'est pour x égale 0.

03:08Et c'est la seule valeur, quand x vaut 0

03:10sa valeur absolue vaut 0.

03:12Ici, pour quelle valeur de x

03:14la valeur absolue vaut-elle moins 3?

03:16Alors là, regardez

03:18la valeur absolue de 3, vous savez que c'est 3.

03:20Et la valeur absolue de moins 3

03:22vous savez que c'est 3.

03:24Donc en réalité, il n'y a aucune valeur de x.

03:26Donc ça,

03:28on n'écrit pas.

03:30Donc la question est, pour quelle valeur de x

03:32la valeur absolue de x vaut-elle moins 3?

03:34Donc ça veut dire concrètement, pour quel nombre x

03:36la distance entre 0 et x vaut-elle moins 3?

03:38Et bien ça, c'est impossible.

03:42Impossible.

03:44Car

03:46une distance

03:48est toujours positive.

03:50C'est-à-dire que la valeur absolue de x

03:52ne peut pas être égale à moins 3.

03:54Il n'y a aucune valeur de x. Vous remplacez x

03:56par n'importe quel nombre, ça ne peut pas donner moins 3.

03:58Donc impossible car une distance

04:00est toujours positive.

04:06Et enfin, on vous demande

04:08pour quelle valeur de x

04:10la valeur absolue de x plus 4 vaut 5?

04:13Donc il y a peut-être une solution

04:15évidente que vous avez trouvée. Oui, il y en a.

04:17En effet, il y a pour x égale 1.

04:19Pourquoi x vaut 1?

04:21Car la valeur absolue

04:23de 1 plus 4

04:25ça donne la valeur absolue de 5

04:27et la valeur absolue de 5

04:29c'est bien 5.

04:31Ou il y a aussi pour x égale

04:33et là le plus dur c'est de trouver l'autre valeur

04:35et donc comment on fait

04:37pour trouver l'autre valeur? Donc on part un peu à la fin.

04:39Si j'ai égal 5, vous savez que la valeur

04:41absolue de 5 vaut 5

04:43mais vous savez également que la valeur absolue de moins 5

04:45vaut 5.

04:47La valeur absolue de moins 5 ça donne 5.

04:49Donc là,

04:51il faudrait trouver quelque chose plus 4

04:53qui donne moins 5 et donc

04:55c'est pour x égale moins 9.

04:57En effet, quand x vaut moins 9

04:59car quand x vaut moins 9, j'ai donc la valeur absolue

05:01de moins 9 plus 4. La valeur absolue

05:03de moins 9 plus 4 c'est la valeur absolue de moins 5

05:05et qui donne 5. Donc là, il y avait deux solutions.

05:07x égale 1 ou x égale

05:09moins 9.

05:11Donc de façon générale,

05:13la valeur absolue de x, ça vaut

05:15x si x est un nom positif.

05:17Donc là, vous pouvez écrire un exemple.

05:21Si x est positif,

05:23la valeur absolue de 3, ça vaut 3.

05:25Voilà. Et la valeur

05:27absolue de x est égale à moins x

05:29si x est négatif. En effet, la valeur absolue de moins

05:315, moins 5 c'est un nom négatif

05:33et on vous dit que c'est égal à moins 5.

05:35En effet, ça donne moins et là

05:37x vaut moins 5, ça donne moins moins 5

05:39et ce qui donne bien 5.

05:41C'est pour ça que là, il y a moins x.

05:43Là vraiment, x vaut moins 5. Donc

05:45moins moins 5, ça donne bien 5.

05:47Voilà, sur un exemple.

05:49Et donc, avec ça, on peut tracer

05:51la courbe représentative de la fonction valeur absolue.

05:53Donc on vous dit définition. La fonction

05:55valeur absolue est définie pour tout réel

05:57donc sur R par fdx égale valeur absolue

05:59de x. Voici

06:01ci-dessous le tableau de valeur de la

06:03fonction valeur absolue allant de moins 3 à 3

06:05avec un pas de 1. Donc pourquoi de moins 3

06:07pour le x ? Les x vont de moins 3

06:09jusqu'à 3. Et

06:11là, il y a une coquille

06:13c'est un pas de 0,5

06:15donc vous, vous aurez la version

06:17corrigée

06:19lorsqu'elle sera imprimée. Donc là, c'est une version

06:21provisoire mais vous allez voir que vous, vous aurez déjà

06:23avec un pas de 0,5, ce sera

06:25déjà corrigé l'erreur quand vous aurez

06:27le polycopier. Donc vous, vous avez écrit

06:29avec un pas de 0,5

06:31et pourquoi c'est un pas de 0,5 ?

06:33Parce que de moins 3 à moins

06:352,5, à chaque fois on augmente de 0,5

06:37on fait plus 0,5, plus 0,5, plus 0,5, plus 0,5

06:39plus 0,5. Et

06:41donc on a le tableau de valeur quand

06:43x vaut moins 3

06:45et là on prend la valeur absolue, donc là j'ai

06:47valeur absolue de moins 3 ce qui donne

06:493. Ensuite

06:51quand x vaut moins 2,5, sa valeur absolue

06:53ça donne 2,5. Quand x vaut

06:55moins 2, sa valeur absolue, fdx égale

06:57valeur absolue de x, ça vaut 2. Quand x vaut

06:59moins 1,5, sa valeur absolue vaut 1,5.

07:01Quand x vaut moins 1,5, sa valeur absolue vaut 1.

07:03Là 0,5, là 0,5,

07:05là 0,5, là 1,

07:071,5, 2,

07:092,5 et 3.

07:11On peut tracer

07:13une partie de sa courbe représentative

07:15donc je rappelle que l'axe des x est ici.

07:17Donc quand x vaut

07:19moins 3, son image

07:21quand x vaut moins 3, son

07:23image à valeur absolument 3 c'est 3.

07:25Quand x vaut moins 2,5,

07:27son image c'est moins 2,5.

07:29Quand x vaut moins 2,5,

07:31son image c'est 2. Quand x vaut moins 1,5,

07:33son image c'est 1,5. Quand x vaut

07:35moins 1,5, son image c'est 1. Quand x vaut

07:37moins 0,5, 0.

07:39Quand x vaut 0,5, son image

07:41c'est 0,5. Quand x vaut 1,5, son image

07:43vaut 1. Quand x vaut 1,5, c'est 1,5.

07:45Quand x vaut 2,5, c'est 2.

07:47Quand x vaut 2,5, c'est 2,5.

07:49Et quand x vaut 3, son image

07:51vaut 3. Et donc en réalité

07:53on prend sa règle

07:55et

07:57et on trace la cope

07:59représentative de la fonction valeur absolue.

08:01Donc à la règle, les points doivent être parfaitement

08:03alignés à gauche et à droite.

08:05Voilà.

08:07Et donc qu'est-ce qu'on constate en termes de symétrie ?

08:09Et bien on constate

08:11que la fonction valeur absolue est symétrique

08:13mais il faut préciser par rapport à quoi ? Par rapport à

08:15l'axe des ordonnées. Donc l'axe des ordonnées

08:17c'est l'axe ici. Donc on constate

08:19bien qu'il y a une symétrie axiale

08:21par rapport à l'axe des ordonnées.

08:23En effet,

08:25et donc là,

08:29ça porte un nouveau nom.

08:31Ça c'est peut-être nouveau pour vous

08:33mais c'est nouveau.

08:35Lorsque la courbe représentative

08:37d'une fonction est symétrique

08:39par rapport à l'axe des ordonnées.

08:41Donc quand j'ai une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

08:43on dit que c'est une fonction paire.

08:45Donc c'est ça une fonction paire.

08:47Une fonction paire c'est une fonction

08:49qui est symétrique par rapport

08:51à l'axe des ordonnées. Donc c'est

08:53du nouveau vocabulaire pour cette année

08:55fonction paire c'est une fonction symétrique

08:57par rapport à l'axe des ordonnées.

08:59Et donc la fonction valeur absolue

09:01c'est une fonction qui est une fonction paire

09:03car sa courbe représentative est

09:05symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

09:07Maintenant

09:09on va pouvoir dresser son tableau de variation.

09:11Donc les variations, on constate quoi ?

09:13On constate que la fonction valeur absolue est strictement

09:15décroissante sur moins l'infini 0.

09:17En effet, pour x allant de moins l'infini jusqu'à 0

09:19la fonction valeur absolue est strictement

09:21décroissante. Et la fonction

09:23valeur absolue est strictement croissante de 0

09:25à plus l'infini.

09:27Et on vous dit que le minimum de la

09:29fonction vaut 0 et il est atteint en x égale 0.

09:31Donc avec tout ça on peut dresser

09:33le tableau de variation. Donc c'est ce qu'on va faire.

09:35Donc x

09:37allant de moins l'infini

09:39jusqu'à plus l'infini.

09:41Variation

09:43de la fonction valeur absolue.

09:45Donc on constate quand x va de moins

09:47l'infini jusqu'à 0

09:49la fonction valeur absolue est

09:51strictement décroissante.

09:53Et quand x va de 0 jusqu'à

09:55plus l'infini, la fonction valeur

09:57absolue est strictement croissante.

09:59Et quand x vaut 0, son image

10:01vaut 0.

10:03Et donc lorsque l'on vous parle du

10:05minimum de la fonction, c'est le minimum

10:07qui est ici. Donc le minimum

10:09de la fonction le plus bas qu'elle atteint c'est

10:110 quand x vaut

10:130.

10:15Et ensuite on peut dresser

10:17le tableau de signes, on vous dit que pour tout réel x

10:19valeur absolue de x est toujours supérieure

10:21ou égale à 0. En effet

10:23une distance est toujours positive.

10:25Et même graphiquement on constate

10:27que de moins l'infini jusqu'à 0

10:29j'ai bien une image positive.

10:31Quand x vaut 0

10:33l'image vaut 0, c'est ce qui est écrit là.

10:35Et quand

10:37x va de 0 à plus l'infini

10:39j'ai bien une image qui est

10:41positive.

10:43Donc si on trace

10:45ce tableau de signes de la fonction valeur absolue

10:47donc quand x va

10:49de moins l'infini jusqu'à plus l'infini

10:51donc là le signe

10:53de la valeur absolue de x

10:55donc de moins

10:57l'infini jusqu'à 0 j'ai une image positive

10:59quand x vaut 0 c'est 0

11:01et de 0 à plus

11:03l'infini c'est positif.

11:05Donc voici le signe de la fonction

11:07valeur absolue, c'est tout le temps positif

11:09plus 0 plus.

11:11Voilà pour la fonction valeur absolue.

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