Sincronizar y pasar contactos de iPhone a Android (y viceversa)

Cada vez que cambiar de móvil, la misma historia: ¿cómo paso los contactos al nuevo terminal? Una situación que se complica todavía más cuando cambias de plataforma y tienes que pasar los contactos de iPhone a Android, o de Android a iPhone. Lo mires por donde lo mires, un auténtico lío.